Квантовополевая теория твердого тела - Хакен Х.
Скачать (прямая ссылка):
W меняется медленно, тогда первая сумма в (31.23), как указано,
обращается в нуль. Вторая часть это-
§ 31]
ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ
241
го выражения уже имеет вид (31,22), причем время соударения определяется
следующим образом
Время соударения принимает теперь весьма наглядный смысл: обратная ему
величина является просто суммой вероятностей того, что электрон будет
рассеян из начального состояния. Если подставить (31.20) и (31.22) в
(31.17), то получим
Используя эти результаты, можно сразу же вычислить ток и тем самым
проводимость. Полный ток складывается из токов evk отдельных электронов,
причем состояния заняты согласно функции распределения /к- Так как в
состоянии равновесия ток отсутствует, то получаем соотношение
Если сюда подставить f\ согласно (31.25), то мы получим линейное
соотношение между током и электрическим полем следующего вида:
где тензор проводимости щ,, определяется следующим образом:
Если Е зависит только от абсолютной величины к, то выражение (31.30) в
силу (31.27) дает скалярную проводимости а, т. е. имеет место закон Ома j
= oF.
Обсудим теперь качественно, какой вид имеет проводимость о в случае
металла. При этом сначала мы не будем использовать время соударения т.
Поэтому заменим соотношение (31.26)
16 х. хакен
f-2ww.
к'
(31.24)
/к = - T-xgradk/k-
(31.25)
Если учесть теперь, что /к зависит от к только через энергию, то получим
Здесь было использовано соотношение
vk = -j- gradk Е.
(31.27)
(31.28)
1% - 2 в'
% X, У 5 2,
р, = X, у, Z,
(31.29)
(31.30)
242 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С КОЛЕБАНИЯМИ РЕШЕТКИ [ГЛ. V
общим соотношением
fi = -eF-Ak|f, (31.31)
где Лк является некоторой, еще неизвестной функцией к, которая, однако, в
любом случае не зависит от поля, так как мы рассматриваем только малые
напряженности полей. Если теперь сопоставить (31.31) с выражением
(31.26), то мы получим соотношение
Ak=VkT, (31.32)
откуда следует, что Лк представляет собой произведение скорости на время
соударения и имеет, следовательно, смысл средней длины пробега.
Теперь обсудим качественно зависимость проводимости от температуры. Для
этого следующим образом упростим (31.8) и
(31.9): будем полагать, что наибольший вклад в сопротивление дают волны
w, для которых выполняется условие I raw I > 1, так что можно положить
(rew+ 1) " rew. Далее, энергия кванта звука значительно меньше энергии
электрона вблизи ферми-по-верхности, где разыгрываются процессы
рассеяния, так что i?k - Ек> ± ftcow ^ ?к - Ек>.
НакЬнец положим, что константы связи Igwl2 изотропны, т. е. равны просто
\gj2. Тогда получаем
WV-"k " WW ~nw I gv, |2 8 (Ек -Ек>), (31.33)
где имеет место w=lk -k'l. (31.34)
Если подставить (31.31) и (31.33) в (31.17), учитывая при этом
(31.23), то получим
2 \gw |2 nw (Лк - Лк') 8 (Ек - Як') ~ vk. (31.35)
к'
Здесь мы уже поделили на все общие множители, что, вообще говоря, требует
некоторого размышления. Пусть теперь в (31.35) к' заменено на k + w, а
(Лк+w-Лк) разложена по степеням w. Запишем это разложение в компонентах
(р, = ж, у, z):
(Ak+wV - (Лк)м, = 2 ~дк~ + Т 2 ak.dk w%w*' (31-36)
% К %У. х н
Для дальнейшего обсуждения предположим, что система координат к
расположена так, что к направлен вдоль оси z. Поскольку должен
выполняться закон сохранения энергии, то соударения происходят на ферми-
поверхности, т. е. практически горизонтально. Наряду с проекцией + и>" в
(31.34) также часто присут-
§31] ! ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ
243
ствует и - wx (то же самое верно и для + w", - wv), и поскольку н>,"0, то
линейные по ид члены в (31.36) не дают никакого вклада в (31.35), а
последний член принимает вид
°к1
(31.37)
(рис. 46). Исходя из сравнения этого выражения с (31.32), сделаем
предположение, что Лк параллельно к: Лк=к YUc), где У зависит только от
абсолютной величины к. Это приближение в случае изотропной задачи может
быть строго обосновано. Элементарное дифференцирование приводит к
результату, что (31.37) ~ кw2 ~ Л* и>2, откуда окончательно получаем
Лк- Ak+w~ Лки;2. (31.38)
Если подставить это приближение в
(31.35) и преобразовать сумму в интеграл (с учетом 6-функции), то
получится следующий результат:
Лк j
g№|2 w2 nV}W dw ~vk,
W m - Il'n
Рис. 40. Рассеяние электронов вблизи поверхности Ферми.
(31.39)
Сравнивая (31.27), (31.28) и (31.30), мы обнаружим, что проводимость а
прямо пропорциональна функции Лк. Поэтому мы обсудим получающуюся
согласно (31.39) температурную зависимость Л к- Так как в конкретной
ситуации скорость vk является заданной величиной, то правая часть (31.39)
не зависит от температуры, а левая, напротив, зависит от температуры
через функцию распределения пш:
= naw/kBT _ ^ (31.40)
Для высоких температур имеет место соотношение
~п"~ квТ/Н<а". (31.41)
Множитель квТ можно вынести за знак интеграла, который теперь больше не
зависит от температуры, после чего непосредственно получаем следующее
справедливое при высоких температурах соотношение:
о~ |Лк|-Г-*, (31.42)
