Квантовополевая теория твердого тела - Хакен Х.
Скачать (прямая ссылка):
v
1
(30.29)
как это следует из формулы (29.27). Сw представляет собой за-
232 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С КОЛЕБАНИЯМИ РЕШЕТКИ [ГЛ. V
висящую от w функцию, различную для металлов и полярных кристаллов (см.,
например, (29.27), (29.34)).
Окончательный результат вычисления (30.28) определяется, естественно,
функциональными зависимостями со w и С w от w.
2. Индуцированное испускание и поглощение фононов. Рассмотрим начальное
состояние системы Ф(0), в котором наряду с электроном с волновым вектором
ко имеются еще и п фононов с волновыми векторами w0:
Чтобы вычислить с помощью формулы (30.7) новую функцию состояния, следует
вновь подействовать на начальное состояние
оператор содержит сумму по w. Здесь могут возникнуть два различных
случая, в зависимости от того, совпадает индекс суммирования wcwo или
нет. Если эти волновые числа не равны друг другу, то можно полностью
использовать предыдущие соображения, так что в качестве конечного
состояния получаем комбинацию функций вида
поэтому для рассматриваемого процесса полная функция состояния после
рассеяния имеет вид
ф(о) = Шп ф".
(30.30)
Рис. 39. Спонтанное испускание фонона w.
Рис. 40. Индуцированное испускание фонона.
(30.30) оператором взаимодействия Нвз. При этом учтем, что этот
(30.31)
(30.32)
Весь процесс можно представить с помощью диаграммы рис. 39. При этом
коэффициенты c?iW в явном виде задаются выражениями (30.16) и (30.17).
Теперь исследуем интересный случай, когда
НЕСТАЦИОНАРНАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
233
w совпадает с wo. Тогда мы придем, как будет впдно из последующего
изложения, к процессам индуцированного испускания и поглощения.
Выделим из Явз (см. (30.8)) тот член, для которого w = wn и рождается
дополнительно еще один фонон. Подействуем этой частью взаимодействия па
начальное состояние (30.31), умножим на i/(i%) н проинтегрируем. Тогда
получим ту часть Ф(Н (см.
(30.7)), которая описывает рождение дополнительно еще одного фонона н
рассеяние электрона. Соответствующий член дается выражением
t
~ 1в1в§е*&+"*гЪ+Ъ')гаха+ак+"'Ъ+,-а1^(Ь$УФЛ. (30.33)
(I) (П)
Вычисление части II выражения (30.33) дает, если учесть еще нормпровку
фононного состояния, следующий результат:
(II) = fik-Hv",k. V~i'a? l/r^-r-T to,t+1 фо- (30.34)
У (га -]- 1)! |
Описываемый этим выражением процесс представим с помощью диаграммы рнс.
40 и введем далее рецепт вычисления коэффициентов с(е>(1) при
соответствующих этому процессу волновых функциях:
ф(е) (0 = 2<?w" (*) ai-7=^=m{bt)n+1 Ф". (30.35)
^ У(и + 1)!
Индекс (е) указывает на то, что в этом процессе речь идет о рождении, т.
е. испускании фонона. Линиям п вершине диаграммы рис. 40 поставим в
соответствие следующие функции:
приходящая электронная волна e_tEkot Q-<--- п приходящих фононов
е~гП№'к0х Q
уходящая электронная волна elEkT ^-5-----q
(п + 1) уходящих фонопов e'(n+l)iow,i
вершина (- igtv") sk,k"-Wo Vп + 1 О
Эти функции следует перемножить друг с другом и проинтегрировать затем по
времени т от 0 до t. Мы утверждаем, что при этом получается правильное
выражение коэффициента
cle) -
^k.Wo -
t
= - ig%A.k.-w. У^П j ei(ek+<n+i>"w.-ek.-n"Bw.)T dx_ (30_36)
0
Доказательство проводится легко, если просто использовать во второй части
(30.33) выражения (30.34) и сравнить коэффициен-
234 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С КОЛЕБАНИЯМИ РЕШЕТКИ [ГЛ. V
ты разложения (30.35) с (30.33). С помощью этих коэффициентов сразу же
определяется вероятность перехода, которая принимает вид
I (^ko^ko-Wo = I gwo |2 Sk,k"-w0 (п + 1) (Skj-Wo 8k0 + (r)w0)-
(30.37)
Вначале здесь возникает формальная трудность: так как начальное и
конечное состояния определены точно, то нет никакой суммы, тем не менее
появляется 6-функцпя. Как мы увидим позже, эта трудность устраняется тем,
что всегда приходится усреднять но определенному распределению начальных
состояний, так что вновь появляется суммирование или интегрирование по
определенным к- или w-состоя-Рис. 41. Поглощение фо- ниям. Наряду с
членом в #вз, который пона. описывает испускание фоионов, появля-
ется еще один член, который описывает поглощение фоноиа с волновым
вектором Wo. Эта часть получается совершенно аналогично полученной выше:
t
~ igv. j е^+"'о-ек-",у"К dx at+Waakb^al (&w.)n Ф", (30.38)
о * n'
- ^ _¦
где II с помощью перестановочных соотношений переходит в II = Sk,k"
Vnai+yi-L=r (Ъ^Т^Ф,. (30.39)
V (п - 1)!
Этому процессу, когда поглощается один фонон, мы поставим в соответствие
диаграмму рис. 41. Соответствующая этому процессу функция состояния в
общем виде дается выражением
Ф(г,) (0 = 2 c?w" (0 ai y=J=_ (Ь^У1-1 Ф". (30.40)
Коэффициенты получаются совершенно так же, как и на стр. 233, с той лишь
разницей, что для этого процесса вершине следует приписать множитель
- igwoVk.+wtl^- (30.41)
После интегрирования по времени получаем для коэффициентов следующее
выражение:
cia) =
t-k.Wo -
- **wA,k.+w. Vn f dr, (30.42)
§ 311
ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ
235
согласно которому вероятность перехода имеет вид I W^ko-"ko+wo = I S-Wo
