Квантовополевая теория твердого тела - Хакен Х.
Скачать (прямая ссылка):
множитель, который стоял в выражении
(32.8) (первое выражение) для оператора взаимодействия Учитывая (32.8),
получим для вершины 2 выражение
t
2 (- fcw) Sk',k0-w J dx2 ^.-"Wk.-w)* (32.11)
0
Здесь w то же самое, что и в формуле (32.10). Нам следует еще,
§ 32]
СОБСТВЕННАЯ ЭНЕРГИЯ, ПЕРЕНОРМИРОВКА МАССЫ
247
однако, провести суммирование по к'. Если собрать (32.10) и
(32.11) вместе, то мы получим следующее явное представление
коэффициентов ck"(f):
t
(0 = j dT2 elSk>r' X
X
2(- f e"'i(Q,"'+Ck"_w)(T2"T') (- igl) e-i8k°T' dxt. (32.12)
Результат нашего расчета снова можно представить в виде рецепта,
соответствующего диаграмме рис. 47:
приходящий свободный электрон е~гЕк°т' вершина 1 - испускание фонона (-
igw) 6k+w,k" распространение электрона
и фонона от Ti до тг е-i("w+Ek"-4F)(t"-T')
вершина 2 - поглощение фонона (- igv) 6k'-w,к уходящий свободный электрон
егЕк"Тг
Затем (32.12) слеудет проинтегрировать по временам и тг при 0 < ti < т2 <
t и ввести суммы по w, к, к'. Ввиду присутствия в вершинах символов
Кронекера, которые представляют закон сохранения импульса, суммы по к и
к' можно опустить, как это сделано в (32.12). Читатель обнаружит, что это
просто последовательное развитие приемов, которые уже встречались нам в
предыдущем параграфе, посвященном первому порядку нестационарной теории
возмущений. Теперь нетрудно представить себе, как будут выглядеть эти
приемы для еще более сложных процессов. С примером такого процесса мы
познакомимся в следующем параграфе.
Проведя интегрирование по tj и перемножив между собой экспоненциальные
функции, получим
С А _ i(8ko~Eko-w-fl)w)'b
ск (t) = I gw 2 1 -^7-----------------г- dx2. (32.13)
Стоящая под интегралом единица после интегрирования приводит к члену,
пропорциональному t, а экспоненциальные функции дают по существу
осциллирующий член. Для достаточно больших времен член, пропорциональный
t, становится превалирующим, так что осциллирующим членом можно
пренебречь. Тогда это выражение принимает вид
Ск. (0 = - ?*Аеко, (32.14)
248 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С КОЛЕБАНИЯМИ РЕШЕТКИ [ГЛ. V
где введено сокращенное обозначение
= 2(32-15) w ek" k"-w w
Используя этот результат, приводим искомую функцию состоя-
ния (32.9) к виду
Ф(г)-(1-цЗДа?Ф0. (32.16)
Это в высшей степени примечательный результат. Он утверждает, что в
исследуемом нами процессе испускания и последующего поглощения фонона
исходная функция состояния не изменяется, коэффициент же при ней растет
пропорционально времени. К разумному результату мы придем только после
того, как учтем
высшие порядки теории возмущений. Этим мы займемся в § 33,
а здесь воспользуемся полученным там результатом. Согласно проведенному в
§ 33 анализу оказывается, что 1 - ?Де? представляет собой первые два
члена разложения экспоненты, так что функцию состояния (32.16) можно
записать в виде
Ф (*) = е"*4вк**а?Ф0. (32.17)
Предположим заранее справедливость выражения (32.17) и посмотрим, что
означает появление нового временного множителя в (32.17).
Для этого вернемся от представления взаимодействия (функция состояния
Ф(Н) к представлению Шредингера (функция состояния ФШ). Согласно
результатам § 16, Ф(Н и ФU) связаны через невозмущенный оператор
Гамильтона Н0:
LH t
Ф (t) = e п *Ф("). (32.18)
Подставим сюда для ФШ ее выражение (32.17) и сделаем преобразования:
-Шъ- t -4-Hot . -Hot -ir Hot ф (t) = e e Tl ai0en e л Ф(|. (32.19)
~ T Yi
Согласно результатам § 16 получаем I = afrr18*.*, Н = Ф0, так что
(r)(f) = e-iA8k.<-i8k.ia^0. (32.20)
§ 32] СОБСТВЕННАЯ ЭНЕРГИЯ, ПЕРЕНОРМИРОВКА МАССЫ 249
Сравнивая этот результат со стационарным решением полного уравнения
Шредингера с гамильтонианом Н= Но + Нвз:
_.Е_
Ф(") = е %л Ф(0), (32.21)
находим, что
Это соотношение и дает нам искомую интерпретацию: ЙАеко
представляет собой сдвиг энергии электрона в состоянии ко. В рамках
второго порядка теории возмущений он определяется выражением (32.15).
Этот сдвиг энергии возникает благодаря испусканию и последующему
поглощению фонона. Поскольку при испускании и последующем поглощении
закон сохранения энергии не выполняется, то говорят о "виртуальном"
испускании или поглощении. Тем самым мы получаем чрезвычайно важный и для
физики элементарных частиц результат, что энергия электрона благодаря
виртуальному испусканию и поглощению квантов, в данном случае фононов,
оказывается смещенной. Если рассматривается покоящийся электрон, т. е. ко
= 0, то говорят о собственной энергии частицы.
Для не слишком больших значений к0 величины Е = Еко, Еко = 1ггко, АЕко ==
йЛек() можно разложить в ряд по к0:
Здесь т* - эффективная масса электрона в отсутствие фонон-
(32.24) выбран по аналогии с (32.23), так что т** в этом разложении
имеет очевидный смысл эффективной массы электрона в деформируемой
решетке. С в (32.25) является коэффициентом в разложении (32.15) и явно
будет вычислен ниже (§ 35). Здесь мы положим фофмально
| Е = %вка + Msko.
(32.22)
(32.23)
Е ~ Е° + 2тТ*'
