Квантовополевая теория твердого тела - Хакен Х.
Скачать (прямая ссылка):
как их следует подставить в правые части (31.4) под знаки сумм, а суммы,
естественно, сразу могут быть преобразованы в интегралы. Для дальнейшего
рассмотрения выражения (31.4) сделаем типичное приближение. В (31.8) и
(31.9) входят числа заполнения п w. Если говорить точно, то теперь
следовало бы получить уравнения, описывающие изменения чисел заполнения
фононов. Однако мы предположим, что фононы образуют (в термодинамическом
смысле) тепловой резервуар, который поддерживается при определенной
температуре Т. Как показано в термодинамике (чего мы также не будем здесь
выводить), среднее число заполнения при тепловом равновесии для
У8 ЁЗАЙМОДЕЙСТВЙЕ ЭЛЕКТРОНОВ с КОЛЕБАНИЯМИ РЕШЕТКИ [ГЛ. V
бозе-частиц, каковыми являются фонолы, дается следующим выражением:
. (31.10)
Здесь кв - постоянная Больцмана. В последующем изложении мы примем, что
соотношение (31.10) остается справедливым и в том случае, когда электроны
выведены из равновесного состояния внешним электрическим полем. Однако
вначале исследуем случай теплового равновесия в отсутствие внешнего поля.
Для имеющего теперь место равновесного распределения должно выполняться
соотношение
at) =0- (31Л1>
иь1} соуд
Это соотношение следует понимать так. В левую часть (31.11) в качестве
явного выражения следует подставить правую часть
(31.4), в результате чего получается уравнение для /к- Как можно
показать, соотношение (31.11) удовлетворяется функцией распределения
(31Л2)
Здесь использовано сокращенное обозначение
Р-г^г. (31.13)
5 - так называемый химический потенциал. Химический потенциал должен быть
определен таким образом, чтобы удовлетворялось соотношение (31.2). На
рис. 44 показан ход кривой /к при Г = 0 и Г>0 в случае металла. Очевидно,
что /к является функцией только энергии Е. Теперь наложим внешнее
электрическое поле и исследуем вызванные этим изменения функции
распределения /к. Импульс электрона под действием внешнего поля F
изменяется согласно соотношению
HAk = eFAt. " ' (31.14)
Следствием этого является сдвиг всей функции распределения как целого,
как это показано на рис. 44а. Функция распределения в последующий момент
времени t + At следующим образом связана с функцией распределения в
предыдущий момент времени:
Ыг + лг)=/к_дк(г). • (31.15)
ЭЛЁКТРЙЧЕСКОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ
23А
Если разложить обе стороны в (31.15) по At (и перейти к преде-
лу Пт -гг . • • ), то получится следующее уравнение:
At-*o 1
Ш"оло = "-ТвГаЙк/ь- (31Л6)
Если теперь предположить, что на электроны одновременно действуют как
фононы, так и внешнее поле, то полное измене-
Рпс. 44. Общий вид функ-
ции распределения /° металла.
для
Рис. 44а. Изменение функции распределения /к со временем только под
действием внешнего поля. Соотношение (31.15) непосредственно очевидно из
рисунка.
пие функции распределения складывается из обоих соответствующих частей. В
стационарном состоянии, таким образом, должно выполняться уравнение
(-ж) =(w) +(¦If) =0- (31Л7>
\ dt /поля V dt /ссуд \ dt /поло
Это так называемое уравнение Больцмана. Решение этого уравнения
чрезвычайно сложно, так что для обстоятельного рассмотрения следует
обратиться к специальной литературе. Здесь же для выявления важнейших
моментов мы дадим только краткое описание решения. Мы полагаем поле
настолько малым, что распределение возмущается лишь незначительно, так
что /к можно представить в виде
/к=/? + /к (31.18)
и предположить, что
1/21 </2. - (31.19)
При малых полях можно ограничиться линейным по полю членом, что
немедленно приводит к возможности использования
240 ВЗАЙМОДЕИСТВЙЁ ЭЛЕКТРОНОВ С КОЛЕБАНИЯМИ РЕШЕТКИ [ГЛ. V
приближения
(9JA
dt
Щ- gradk ft
(31.20)
Так как функция равновесного распределения /? удовлетворяет уравнению
(31.11), то сразу после использования разложения (31.18) получаем
(9А)
I dt 1 соуд V 91 /соуд
(31.21)
Под правой частью (31.21) следует вновь подразумевать явное выражение
(31.4), которое, очевидно, чрезвычайно сложно. В ряде случаев (31.21)
можно, однако, упростить с помощью введения так называемого времени
соударения т. А именно, мы будем считать, что под действием соударений
возмущение /к равновесной функции распределения через время т затухает,
так что справедливо соотношение
О!*]
dt j
соуд
(31.22)
Приведем пример, в котором это предположение простым образом
оправдывается. С помощью (31.18) и (31.19) и после кратких преобразований
(31.21) принимает вид
f /7 М "V**4 \\ *<гтГГгттг>!>^^.
,,"АчцЛи>' ^ VK4 !!
4)
ut /соуд k,
k'-"k
/к2^'
к'
кн>к'
(31.23)
Рис. 45. Функции распределения.
А 1 =/кТ
На рис. 45 представлена разность возмущенной и невозмущенной функций
распределения, т. е. как раз/к) причем мы имеем в виду случай
полупроводника, так что можно считать, что заполнение меняется очень
медленно и па величину, гораздо меньшую 1. Очевидно, что функция /к
практически в одинаковой мере принимает как положительные, так и
отрицательные значения. Предположим, кроме того, что вероятность перехода
