Квантовополевая теория твердого тела - Хакен Х.
Скачать (прямая ссылка):
Для 1^1 <s iRi =R справедливо разложение
(25.5в)
(25.6)
Если подставить это разложение в интеграл (25.4), то получим
Первый интеграл в правой части (25.7) исчезает ввиду ортогональности
функций Ваннье, принадлежащих разным зонам. Второй интеграл обозначим,
как указано, черезD^v.Можно показать (что, однако, относится к атомной
физике), что D;-;-'=0, если оба индекса / и j' относятся либо к s-
функциям, либо к р-функциям. Для нас это означает следующее: Djj' ф 0 по
меньшей мере тогда, когда / является индексом валентной зоны, а /'- зоны
проводимости или наоборот. Вместо стоящих в (25.4) произведений
операторов a+.aijr вновь введем с помощью операторов электронных дырок d
1 операторы рождения и уничтожения локализованных экситонов, используя
следующую схему:
Далее запишем дипольный матричный элемент D в несколько упрощенном виде,
а именно:
(25.7)
а+.ау у заменяется на d\ai и, = Вх ц. = ?, ц ,} '
(25.86)
(25.8а)
для
и для
(25.9)
Ввиду s- и р-симметрии функций Ваннье нашего примера можно 13 X. Хакев
194 ЭЛЕКТРОНЫ В "ЗАМОРОЖЕННОЙ" РЕШЕТКЕ [ГЛ. IV
показать (чего мы, однако, не будем делать), что при р = х, у, z DX=(D,
О, 0) =Dex,
D"=(0, Д 0) =fle}, ей- единичный вектор.
Dz = (0, 0, D) =Dez,
Индексу р, таким образом, соответствует дипольный момент D в направлении
р (р = х, у, z).
Если после всех этих рассуждений и преобразований подставить (25.7) в
(25.4), то сразу получим следующий результат:
j (х) j/lV| t (х) d*x =
2 irrrrTS(r)" + 2 r^i d;
1,в > г 11 1,И I г 11
(25.10)
Правая часть (25.10) имеет весьма наглядный смысл. Например,
(1. - 1) , , ч
выражение et рр-с классической точки зрения
I t- I
представляет энергию взаимодействия заряда е{ в точке Г и диполя в точке
1 с дипольным моментом Р = Ди-
польный момент Р, таким образом, равен произведению максимально
достижимого дипольного момента D, единичного вектора в направлении р и
зависящей от точки 1 амплитуды 5^. Указанную величину Р следует
трактовать как амплитуду поляризационных колебаний электронов кристалла.
Выражение (25.10) нужно, естественно, прибавить к оператору Гамильтона
(25.2). Для того чтобы не перегружать наше рассмотрение излишними
подробностями, обратимся к обсуждению простого специального случая, когда
экситон Френкеля покоится, и опустим вторую сумму в (25.2). В этом случае
уравнение Шредингера, описывающее взаимодействие электронов кристалла с
точечным зарядом е{, имеет с учетом (25.2) и (25.10) следующий вид
(E0iO6m = Е0):
и,й
+ ВЪ 2 j--j-jb
'"'I,и
+ в2е* пУгз DZ)}ф = Еф (25Л1>
V*
71,м.
и представляет не что иное, как квантованные поляризационные колебания
электронов кристалла, которые взаимодействуют с закрепленными зарядами.
§ 25]
ВОЛНЫ ЭЛЕКТРОННОЙ ПОЛЯРИЗАЦИИ
195
Операторы и 51>м,, как будет показано в § 26, приближенно (только
приближенно!) можно рассматривать как бозе-операто-ры. В этом случае
проблема (25.11) становится для нас совсем привычной, поскольку в ней по
существу речь идет о совокупности смещенных осцилляторов. Энергия
основного состояния при этом дается выражением (см. § 6)
Я = -24rlVuila, (25.12)
i.n о
где ц - введенные в (25.11) сокращения.
Для того чтобы поближе познакомиться с физическим содержанием результата
(25.12), в него следует подставить явный вид Y, при этом ради простоты мы
ограничимся случаем двух точечных зарядов г = 1, 2. Тогда выражение для
энергии принимает следующий вид:
Е = -
01,И
-12
в1 во
0 1,|1
I I - 1 I3 | *2 - 1 I3
+ K.C. (25.13)
Оба выражения в первой строке (25.13) отрицательны и пропорциональны
квадрату величины заряда ег; это означает, что внесение в кристалл заряда
приводит к уменьшению собственной энергии частицы. Понятие собственной
энергии играет в квантово-полевой теории и в особенности в физике
элементарных частиц основополагающую роль. Эту энергию можно представить
себе совершенно наглядно. Введенный в кристалл заряд смещает благодаря
кулоновскому взаимодействию электроны кристалла из положений равновесия,
т. е. поляризует их. Это смещение центров тяжести в нашем примере можно
представить в виде суперпозиции s- и p-функций. В рамках вторичного
квантования это означает, что электрон из основного состояния, в нашей
модели из s-состояния, частично удаляется и с определенной вероятностью
переводится в возбужденное, в нашей модели р-состояние (рис. 35).
Математически это выражается присутствием операторов рождения и
уничтожения 5+ийв (25.11). Поляризованные таким образом электроны со
своей стороны создают поле, которое действует обратно на введенный заряд,
что и приводит к изменению его собственной энергии.
13*
196
ЭЛЕКТРОНЫ В "ЗАМОРОЖЕННОЙ" РЕШЕТКЕ
[ГЛ. IV
Вычислим теперь выражение во второй строке (25.13). Оно пропорционально
произведению и ег и представляет, следовательно, дополнительное прямое
взаимодействие между обоими точечными зарядами. Положим для краткости
l! -12 = 3G (25.14)
и учтем, что в нашей модели является вектором, три компоненты которого
