Квантовополевая теория твердого тела - Хакен Х.
Скачать (прямая ссылка):
впервые экспериментально убедительно показал Никитин с сотрудниками,
могут образовывать экситонные молекулы. Поскольку экситоны часто можно
считать бозе-частицами, было предположено, что при высоких плотностях
может иметь место бозе-эйнштейновская конденсация, совершенно аналогично
сверхтекучему гелию. Здесь все же следует указать, что экситоны ни в коем
случае не являются в точном смысле этого слова бозе-частицами. Это можно
увидеть с помощью небольшого расчета, который мы проведем на примере
экситонов Френкеля. Если исходить из операторов локализованного в узле 1'
(или 1) решетки экситона, то, как мы видели в § 24, бегущие экситонные
волны конструируются следующим образом:
(26.1)
Бозевский характер экситона был бы установлен, если бы операторы рождения
и уничтожения удовлетворяли обычным пере-
S 26]
ЭКСИТОННАЯ МАТЕРИЯ
199
становочным соотношениям. Для этого образуем коммутатор из ??к и В к',
применив (26.1):
[gk, Ш'] = 4-2 eikl~ik'r ^ - (26-2)
Коммутатор под знаком суммы, содержащий электроны и электронные дырки,
принимает вид
[diai, af^r] = Sir (l - afai - (26.3)
Если подставить это выражение в (26.2) и использовать ортогональность
плоских волн, то получим
[Як, Щ = 8kk- - -1 2 ei(k"k,)1 a! + tZi4). (26.4)
Если бы в правой части (26.4) стоял только символ Кронекера, то бозевские
перестановочные соотношения были бы действительно выполнены.
Дополнительный член зависит, очевидно, от числа электронов и электронных
дырок, поскольку он содержит операторы числа частиц. Совершенно ясно, что
этим членом можно пренебрегать до тех пор, пока соответствующие функции
состояния содержат лишь незначительное число экситонов и, т. е. когда
n<^N. При рассмотрении более высоких плотностей экситонов необходимо
обращать внимание на это нарушение бозев-ских перестановочных
соотношений.
Согласно теории Келдыша и Козлова и Ханамуры при определенных
обстоятельствах и в этом случае можно прийти к конденсации Бозе -
Эйнштейна. Мы не приводим вычислений этих авторов, указывая лишь
читателю, что математический метод совершенно аналогичен методу теории
сверхпроводимости, который будет обсуждаться в § 42.
По предположению Келдыша возможно также, что экситоны образуют своего
рода металлические капельки. При этом плотность становится настолько
большой, что отдельные электроны могут быть удалены от своих электронных
дырок. Однако капельки не распадаются, за что ответственно, как показал
Андерсон с сотрудниками, кулоновское обменное взаимодействие. Как мы уже
видели в рамках приближения Хартри - Фока, наряду с обычным членом,
описывающим кулоновское взаимодействие, имеется еще только что упомянутый
член обменного взаимодействия, знак которого противоположен знаку члена
собственно кулоновского взаимодействия, что может приводить к некоторому
притяжению между частицами с одинаковыми по знаку зарядами.
Кажется, что существование этих капелек на самом деле обнаружено рядом
авторов, в частности Бенуа а Ла Гийомом.
200
ЭЛЕКТРОНЫ В "ЗАМОРОЖЕННОЙ" РЕШЕТКЕ"
[ГЛ. IV
§ 27. Плазмоны
а) Классическое рассмотрение. Под плазмонами мы понимаем кванты
плазменных колебаний. Прежде всего вспомним, что вообще значит плазма и
ее колебания. Бели очень сильно нагреть газ, то атомы частично или
полностью ионизуются. Тогда электроны оказываются довольно подвижными
относительно ионов и ядер. Система такого рода, состоящая из
противоположно заряженных и подвижных частиц, называется плазмой.
Покажем вначале на примере классических частиц, что плазма такого рода
может испытывать колебания. Ради простоты будем рассматривать
положительно заряженные тяжелые частицы как однородный и неподвижный фон
и рассмотрим движение легких отрицательно заряженных частиц - электронов.
Будем считать, что зарядовая плотность р этих частиц является непрерывной
функцией координат, и разложим ее по плоским волнам:
Р(М) = 2р (27-1)
Одна из таких волн представлена на рис. 9. Разложения такого рода уже
встречались нам ранее, например, при рассмотрении колебаний решетки. Уже
там было ясно, что для колебаний является типичным наличие гармонической
зависимости амплитуд от времени:
pq(*) = ei?Vpq(0). (27.2)
С помощью простых соотношений классической электродинамики можно получить
уравнение для подобных колебаний плотности и вычислить соответствующую
плазменную частоту Q.
Для этого рассмотрим элемент объема AF, в котором находятся AN
электронов, различаемых индексом г. Пространственные координаты
электронов обозначим через хгШ, а их скорости - через v,U). Тогда каждый
электрон под действием поля Е (в соответствующей точке пространства х4)
будет ускоряться согласно уравнению дх.
Усредним это уравнений по выделенному элементу объема:
' (27.3)
г г
С помощью следующего соотношения введем среднюю плотность токаз(х): j
(х)= а среднюю напряженность поля Е(х)с
§ 27]
ПЛАЗМОНЫ
201
помощью соотношения Е (х) = ^ Е (х?). Тогда уравнение
г
(27.3) примет вид
(27.4)
Применим к обеим частям этого уравнения операцию дивергенции и учтем, что
