Квантовополевая теория твердого тела - Хакен Х.
Скачать (прямая ссылка):
кулоновское взаимодействие появляется без какого-либо дополнительного
множителя. С другой стороны, нам известно, что в поляризуемой среде закон
Кулона должен быть модифицирован с учетом диэлектрической постоянной.
Следовательно, в уравнении
Рис. 32. Энергетическая схема экситона с большим радиусом. На
графике
представлена полная энергия Е всех электронов кристалла как функция
полного волнового числа К. В основном состоянии кристалла экситонов нет,
а К = 0. Если рождается эк-ситон, то его движение
раскладывается на движение центра тяжести (а) и относительное движение
(б).
(а) Движение центра тяжести определяется полным волновым числом К.
Соответствующая энергия ¦Ецт =ft2j&r2/2mp, где тр = = ту + mL -
эффективная масса всего экситона. (б) Относительное движение при больших
радиусах, как в случае атома водорода, можно описать квантовыми числами
п, I, т. Соответствующая энергия равна Е0 ТНос = =-тге*1(2НЧ2п2) п = 1,
2, 3, ...). Здесь ljmr=l/mv+ + 1/ть - приведенная масса экситона. В
реальном случае в это выражение следует ввести ряд уточнений.
Вертикальная штриховая стрелка представляет оптический переход.
182
ЭЛЕКТРОНЫ В "ЗАМОРОЖЕННОЙ" РЕШЕТКЕ
[ГЛ. IV
(23.15) нужно феноменологически заменить 2 "2
Ь-Т на -л-1-1. (23.25)
То обстоятельство, что в нашем рассмотрении диэлектрическая постоянная не
появилась, связано со слишком сильным упрощением оператора Гамильтона в §
22, где мы пренебрегли виртуальными переходами между зонами.
По существу же эффективная диэлектрическая постоянная может быть
последовательно выведена из микроскопической теории в рамках вторичного
квантования, к чему мы подойдем несколько ближе в § 25.
Задание к § 23
Как следует изменить (23.15), если учитывается обменное взаимодействие
между электроном и электронной дыркой?
§ 24. Экситоны Френкеля
В предыдущих параграфах было принято, что расстояние между электроном и
электронной дыркой относительно велико, так что имело смысл разложение
полевых операторов -ф+(х) и •ф(х) по блоховским волнам. В этом параграфе
мы рассмотрим^ обратный предельный случай, который особенно важен для
молекулярных кристаллов, а именно, когда следует считать, что электрон и
электронная дырка находятся на одном и том же атоме. При этом кажется
разумным провести разложение не по блоховским функциям, а по атомным
волновым функциям или, еще лучше, по функциям Ваннье, которые кратко
обсуждались нами в § 19. Соответственно двум имеющимся зонам - валентной
и проводимости - введем следующие функции Ваннье:
| u>i,v(x) = Wy(x - 1) (валентная зона V) (24.1)
и . '
] Wi,L(x) = wjx - 1) (зона проводимости L), (24.2)
где 1 - радиус-вектор точки локализации частицы. Разложение полевых
операторов гр(х) и ф+(х) по этим функциям Ваннье запишем в виде
I Ф(х) = - Ч) + 2 "ы. иъ(х - 1), (24.3)
1 I 1
I ф+ (х) = 2 (х - 1) + 2 ai.Lwl (х - 1). (24.4)
I I 1
§24] i": ¦ ЭКСИТОНЫ ФРЕНКЕЛЯ 183
Оператор af v рождает электрон в валентной зоне в точке 1, а оператор а с
теми же индексами уничтожает этот электрон. Соответственно оператор йць
создает один электрон в зоне проводимости на атоме 1. Поскольку функции
Ваннье образуют ортогональную систему, то совершенно аналогично § 13
отсюда следует, что а удовлетворяют перестановочным соотношениям
"I Ла1','У + "г.Г"1.з = 0, atjat'j' + = О,
(r)1,5(r)г,5' ~f~ = Si, г б,'j*. (24.5)
Индексы / и /' здесь имеют смысл V и L. Точно так же, как и в § 22, нам
следует выразить оператор Гамильтона Я (22.2) через операторы рождения и
уничтожения а+, а. Разложим Я на два слагаемых:
Я = Я0 + ЯВ5, (24.6)
причем Я0 относится к кинетической энергии электронов в поле заданного
атома, а Явз представляет кулоновское взаимодействие между этими
электронами. После подстановки разложений (24.3) и (24.4) в (22.2)
получаем
Нй = ]Ч+ (х){-^гА + ур (х)}^(х) д*х =
= 2 а1дАп,г,Я1,т,ь + S (24.7)
1,т 1,т
где использовано сокращенное обозначение
Hi,mj = |щ|(х-1){-|;гА+Рр(х)}^.(х-т)й3ж, j = L,V.
(24.7а)
Будем считать, что стоящий в фигурных скобках в (24.7) оператор не
приводит к переходам между различными зонами. Преобразуя соответствующим
образом выражение
Явз = J Jr^+ (х) (О j х J"/ j 4' ОО Ф (х) dZx d3x''
получим
ТТ ___ 1
11 вз - о"
ll.I
где W определяется следующим образом:
X , _ - ТТ Щ, (х' ~ 18) (х - *") d3x d3^• (24-9)
2 athathan,hau,u^?!*!"!з !4) -
vi h h hi
(24.8)
184
ЭЛЕКТРОНЫ В "ЗАМОРОЖЕННОЙ" РЕШЕТКЕ
[ГЛ. IV
Верхние индексы в W относятся к точке локализации, а нижние - к зоне,
Для дальнейшего упрощения ограничимся случаем, когда можно пренебречь
перекрытием волновых функций. Отсюда следует, что 14 = 1] = 1, а также 13
= h = Г.
В последующем рассмотрим такие волновые функции, когда создается только
одна электронпо-дырочная пара. Это означает, естественно, что электрон не
может быть дважды уничтожен в валентной зоне и дважды рожден в зоне
проводимости, что приводит к условиям
/3^/4,71^72- (24.10)
Если использовать эти условия в (24.8), то (24.8) примет вид
