Квантовополевая теория твердого тела - Хакен Х.
Скачать (прямая ссылка):
согласно классической электродинамике справедливы соотношения
Но это уравнение есть в точности уравнение колебаний д2р/<??2-)-
где п = AN/&.V - средняя плотность частиц. Все волны имеют одну и ту же
плазменную частоту ?2П-
б) Квантовомеханическое рассмотрение. Метод Эренрейха - Коэна.
Поскольку твердое тело представляет собой существенно иной объект, нежели
ионизированный газ, то поначалу может показаться странным, что мы
проводим параллель с плазмой. Однако только что мы видели, что для плазмы
необходимо лишь, чтобы заряды одного типа легко смещались относительно
зарядов другого типа. Из теории Блоха нам известно (см. §§ 17, 20), что
электроны в твердом теле в действительности ведут себя практически как
свободные частицы. Это и является предпосылкой для возникновения плазмы
твердого тела. Тем не менее в случае твердого тела следует сделать
некоторые существенные оговорки.
1. Электроны следует рассматривать в рамках квантовой теории.
2. Электроны подчиняются статистике Ферми.
Таким образом, следует развить теорию, в которой отражены оба эти
момента. Для этого нам вновь лучше всего опереться на формализм
вторичного квантования и подумать, как можно было бы перенести
классический подход на случай квантовомеханического рассмотрения. При
этом в основу рассмотрения будет
div j = -^, div Е = 4лр,
где р - плотность заряда. Тогда (27.4) переходит в !)
(27.5)
T-Qnp - 0 с плазменной частотой
(27.6)
') Мы не проводим различия между непрерывным и дискретным рассмотрением,
поскольку здесь это не имеет значения.
202
ЭЛЕКТРОНЫ В "ЗАМОРОЖЕННОЙ" РЕШЕТКЕ
[ГЛ. IV
положено представление Гейзенберга (ср. § 16). Объектом нашего
исследования и здесь является электронная плотность, которая известным
образом может быть сделана оператором:
Заряд электрона в (27.7) ради простоты опущен, поскольку при определенных
обстоятельствах колебания зарядовой плотности можно идентифицировать с
колебаниями плотности.
Теперь следует показать, что фурье-компоненты (27.7) действительно
зависят от времени так, как это указано в (27.2). Для этого разложим
зарядовую плотность (27.7) в ряд Фурье. Соответствующие компоненты Фурье
даются выражением
Это выражение можно преобразовать дальше, если разложить операторы
рождения и уничтожения ф+(х), -ф(х) по плоским волнам, которые
нормированы в объеме V:
Если теперь подставить (27.9) и (27.10) в (27.8), то после кратких
промежуточных вычислений получим выражение
операторы. Чтобы получить классические амплитуды, нам следует перейти,
как обычно в квантовой теории, к средним значениям вида
Теперь наша задача состоит в том, чтобы получить уравнение движения для
(27.11) и (27.12). Мы сделаем это, предварительно введя уравнение
движения для произведения операторов
Эти операторы, как можно видеть из выражений (27.7) и (27.11), зависят от
времени. Как уже было отмечено, рассмотрение проводится в представлении
Гейзенберга (§ 16). Для того чтобы ввести уравнение движения для
оператора в представлении Гейзенберга, воспользуемся рецептами § 16.
Уравнение движения неко-
р(х, t) = ф+(х, г)ф(х, t).
(27.7)
pq (0 = j 'Ф4' (х, t) ф (х, t) ei(ix dsx.
(27.8)
(27.10)
(27.9)
МО,
(27.11)
где pq(0 является, естественно, операторам, поскольку яь и а? -
Pq(?) = <Ф Iрq I Ф>.
(27.12)
ak+q (0 ак (")¦
(27.13)
§ 27]
ПЛАЗМОНЫ
203
торого оператора О в общем случае имеет вид
- i%Q = [Я, Q], (27.14)
где Н - гамильтониан системы. Здесь мы рассматриваем оператор Гамильтона,
который описывает взаимодействие между электронами. Потенциал решетки
учитывается нами с помощью метода эффективной массы, так что в основу
рассмотрения кладется предположение о положительно заряженном непрерывном
фоне. Таким образом, оператор Гамильтона имеет вид
Н = j i|)+ (х) {- а] г|) (х) dsx +
+ Т I W | х - х71 ^ ^ (Х^ d*x'- (27-15)
Этот оператор Гамильтона построен с помощью операторов i]>+(x) и г|)(х).
Поскольку, однако, мы ищем уравнение движения для
(27.13), то подставим прежде всего известным нам образом (см. § 20)
выражения (27.9) и (27.10) в (27.15) и после небольших преобразований
получим
н = 2 Еьа?+-|- 2 W (kik2; кзкг) (27.16)
k k,....k,
Здесь W дается выражением W (к^; k3k4) =
- _L Г Г ?-гк,х'-гкгх ?- егк3х+гк4х' d3X d3x'. (27.17)
F J J I x x I
Двойной интеграл Фурье (27.17) по кулоновскому взаимодействию может быть
легко вычислен в явном виде, чего, однако, мы не будем здесь делать, так
как это не является задачей квантовополевой теории. В конце концов
получается следующий результат: (27.17) принимает вид
W = 6(kj + k2 - k3 - k4)yq, (27.18)
причем Vq определяется выражением
Атгр^ А
Vq = -з~, где q = (к4 + к3 - к2 - к4). (27.19)
Я*
В выражении (27.16) значение q = 0 следует исключить, так как
предполагается, что отрицательный электронный заряд полностью
компенсируется положительным фоном. Применив соотношение
(27.14) и использовав для гамильтониана выражение (27.16), получим
уравнение движения для оператора (27.13). Затем следует вычислить
