Квантовополевая теория твердого тела - Хакен Х.
Скачать (прямая ссылка):
02 Ь1/
Очевидно, что А зависит от расстояния гЛ между ядрами. В то время как в
молекуле водорода А < 0, в ферромагнетиках А > О (поскольку там должны
быть использованы другие волновые функции ф(г)).
Хотя спин явно не присутствует в (28.4), знак этого интеграла А зависит
от него. Поэтому мы обсудим теперь формализм, в котором явно учитывается
наличие спина, и начнем это обсуждение с разъяснения свойств операторов
спина.
б) Операторы спина. Поскольку по своей физической природе спин близок
к моменту количества движения, то операторы спина удовлетворяют
перестановочным соотношениям для момента количества движения, которые мы
запишем в виде
| SxSy SySx is,, SjS, szsy iSj, SgSz iSyt (28.5)
Множитель ft у спиновых операторов опущен. Компоненты sx, Sy и sz можно,
естественно, объединить в вектор
I s = (s" sv, sz). (28.6)
В случае нескольких спинов каждому из них следует поставить в
соответствие вектор вида
Sm (Sxm, Sym, Szm ). (28.7)
Поскольку отдельные спины представляют совершенно различные не связанные
друг с другом степени свободы, мы можем принять, что операторы спина
различных электронов коммутируют друг с другом:
| 0 11рП НЪ / 77Ь , (28.8)
Для наших последующих целей вместо первоначальных операторов
14 х. Хакен
210 ЭЛЕКТРОНЫ В "ЗАМОРОЖЕННОЙ" РЕШЕТКЕ [ГЦ, IV
sx и sy будет удобно ввести новые операторы вида
s+ = s* + isy, s~ = sx - iSy. (28.9)
Определение (28.9) справедливо для любых по величине спинов. Мы
ограничимся спином 1/2. Собственные функции оператора s* обозначим Ф(1)
(спин направлен вверх) и Ф(1) (спин направлен вниз). Тогда справедливы
следующие уравнения:
I *,Ф("=-гфЮ. *2ф(1)= (28.10)
Далее, как можно показать (см. задание 1), справедливы соотношения
| *+Ф(1) = Ф(1), в-Ф(1) = Ф(+). (28.11)
Таким образом, благодаря действию оператора s+ на состояние со спином,
направленным вниз, возникает состояние со спином, направленным вверх.
Так как направленный вверх спин нельзя еще раз повернуть вверх, то отсюда
сразу следует выполнение соотношения
] (s+)2 = 0. (28.12)
Аналогично, имеет место соотношение
| (s-)2 = 0. (28.13)
Далее, из перестановочных соотношений (28.5) следует | s+s~ - s~s+ = 2sz.
(28.14)
И, наконец, для спина 1/2 следует соотношение | s-s+ + s+s" = 1,
(28.15)
как Можно сразу увидеть, если построить какую-либо функцию из комбинации
функций со спином вверх и вниз.
в) Обменный гамильтониан и гейзенберговская модель ферромагнетизма. Мы
продолжим рассмотрение проблемы из раздела а) этого параграфа и выразим
Ец, Е^ (28.4) прямо через операторы спина Sj и $2. Поскольку Ен, Еи
зависят от относительного направления спина, то имеет смысл ввести
эффективный гамильтониан следующего вида:
Н = const - /S1S2. (28.16)
Этот гамильтониан, как показывает точное квантовомеханическое вычисление
с помощью операторов спина, дает правильные собственные значения энергии
i?n> /?п> если
/ - /г=2Жг) (гдег = г0ь) (28.16а)
(см. задание 2).
§ 28] МАГООНЫ 211
Обобщим теперь оператор (28.16) на систему многих элект-
ронов, находящихся в узлах кристаллической решетки. Вектор, определяющий
расстояние между узлами кристаллической решетки I и ш, обозначим I - т.
Тогда обменный гамильтониан можно сразу представить в виде
На - J(28.17)
l^m
причем постоянную энергию мы опустили н выбрали индексы спинов
соответственно индексам узлов решетки, в которых они локализованы. Не
ограничивая общности, можно принять, что обменное взаимодействие
симметрично относительно векторов 1 и т, т. е. справедливо соотношение
J I-m - J т-1* (28.17а)
Если бы интеграл J не был симметричным, то можно было бы без труда
(учитывая, что s i и sm можно переставлять) симметри-зовать его.
Множитель 1/2 учитывает, что пара электронов 1, m в сумме (28.17)
встречается дважды, а именно, в виде sism и smSi. Оператор полного спина
S = 2si. (28.18)
как можно показать (см. задание 3), коммутирует с обменным
гамильтонианом, т. е.
| HaS = SHa. (28.19)
Для некоторых целей полезно выразить исходные операторы Si sm через
операторы sj1", Sm. Как можно показать (см. задание 4), обменный оператор
Гамильтона (28.17) при этом принимает следующий вид:
На = - 2 J 1-т (si Sm + s2iszm). (28.20)
l^m
Это, как и прежде, оператор, используемый в модели Гейзенберга. Наряду с
этим оператором применяется, особенно в квантовой статистике,
другой модельный оператор, а именно так на-
зываемый оператор "модели Изинга", в котором операторы s+, s~ опущены:
На =----2~ JI-ms2Is2m. (28.21)
1#ш
В нашем рассмотрении, однако, мы примем за основу оператор
(28.20).
В операторе (28.20) наряду с операторами s+, s~ стоят операторы sz. Эти
операторы также можно простым образом выра-14*
212
ЭЛЕКТРОНЫ В "ЗАМОРОЖЕННОЙ" РЕШЕТКЕ
[ГД, ГУ
зить через операторы s+ и s~. Из соотношений (28.14) и (28.15) для спина
1/2 следует соотношение
s2 = - ~ + s+s-. (28.22)
Если подставить (28.22) для различных узлов решетки 1 и m в
(28.20), то оператор Гамильтона примет вид
На ---------- 2 Jl-m {sl+sm + Si Si + sf Si
