Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Хакен Х. -> "Квантовополевая теория твердого тела" -> 59

Квантовополевая теория твердого тела - Хакен Х.

Хакен Х. Квантовополевая теория твердого тела — М.: Наука, 1980. — 344 c.
Скачать (прямая ссылка): kvantovayateoriyatverdogotela1980.djvu
Предыдущая << 1 .. 53 54 55 56 57 58 < 59 > 60 61 62 63 64 65 .. 118 >> Следующая

случай, когда в соответствующих зонах находятся один электрон и одна
электронная дырка. Мы увидим затем, что при этом сразу появляется
совершенно новое состояние, так называемый экситон.
Исследование свойств гамильтониана системы многих электронов и
электронных дырок в последнее время также приобре-
к к' к' к'
L V V L
l\y <22-39>
И
(22.39а)
(22.40а)
176
ЭЛЕКТРОНЫ В "ЗАМОРОЖЕННОЙ" РЕШЕТКЕ
{ГЛ. IV
ло актуальность, поскольку благодаря высокой интенсивности лазеров
оказалось возможным переводить большое число электронов из валентной зоны
в зону проводимости. К этому вопросу мы еще вернемся в § 26 об
"экситонной материи".
§ 23. Экситоны с большим радиусом (экситоны Ваннье)
В предыдущих параграфах мы ввели оператор Гамильтона для следующей
проблемы: в зоне проводимости находится определенное число электронов, а
валентная зона занята другим количеством электронных дырок. Как мы уже
видели, электроны и электронные дырки можно описать как свободные частицы
с определенной эффективной массой. Между этими частицами, однако,
действуют кулоновские силы. Оператор Гамильтона для такой системы имел
следующий вид:
В этом выражении первый член представляет энергию полностью заполненной
валентной зоны. Второй член представляет кинетическую энергию электронов
в зоне проводимости, третий член - кинетическую энергию электронных дырок
в валентной зоне. Следующий член описывает взаимодействие между
электронной дыркой и электроном. Стоящие в фигурных скобках матричные
элементы W определены в выражении (22.18) и описывают кулоновское
взаимодействие и кулоновское обменное взаимодействие. Предпоследний член
описывает взаимодействие между электронами в зоне проводимости; наконец,
последний член представляет взаимодействие между электронными дырками в
валентной зоне, Далее, наша задача состоит, естественно, в том, чтобы
решить соответствующее уравнение Шредингера
). (23.1)
к
НобщФ ~ЕФ.
(23.2)
В следующем параграфе это решение будет проведено в явном виде для случая
одного электрона в зоне проводимости и одной
ЭКСИТОНЫ ВАННЬЕ
177
электронной дырки в валентной зоне. Волновые функции электрона в
состоянии к! и электронной дырки в состоянии кг можно получить из
состояния, описывающего полностью занятую валентную зону,
последовательным действием операторов рождения йкх и ^к2 на Функцию
заполненной валентной зоны Фу:
"к^к2Фу (23.3)
Следует ожидать, что электрон и электронная дырка, пролетая друг
относительно друга, испытывают взаимное рассеяние, в результате чего
попадают во все возможные различные конечные состояния к. Поэтому
образуем сумму по всем состояниям к электрона и электронной дырки.
Поскольку, к тому же, отдельные состояния могут быть заняты с различной
вероятностью, введем некоторые весовые коэффициенты ckvk2, которые затем
подлежат определению. Согласно этим соображениям наш подход к системе
двух частиц, так называемому жситону, оказывается основанным на волновой
функции
ф = 2 ск1.к2"Фу. (23.4)
к1к2'
Исследуем теперь, какие возникнут упрощения, если подействовать
оператором Гамильтона (23.1) на функцию состояния (23.4). В операторе
Гамильтона (23.1) обе последние суммы описывают взаимодействие только в
валентной зоне или только в зоне проводимости и содержат, соответственно
этому, два оператора уничтожения для электронов и электронных дырок.
Поскольку, однако, наша функция состояния (23.4) содержит по одному
электрону и электронной дырке, то действие соответствующих операторов
взаимодействия дает нуль, так что обе последние суммы в (23.1) можно
опустить..
Укороченный таким образом оператор Гамильтона (23.1) разложим, как
обычно, на две части: кинетическую энергию и взаимодействие между
электроном и электронной дыркой (для того чтобы опустить ТГзаполн,
сдвинем соответствующим образом энергию Е):
I я0бщ Я"ин Ф Яэл-д. (23.5)
Учитывая явный вид Нкшя и волновой функции (23.4), получим
" /й2А:2 \
#шшФ = 2i "kllk| (2^7 + 2^d +constJ •
kjk2 \ в v /
const = E0tL - E0tV, (23.6)
и, соответственно для части, которая описывает взаимодействие 12 х. Хакен
178
ЭЛЕКТРОНЫ В "ЗАМОРОЖЕННОЙ" РЕШЕТКЕ
[ГЛ. IV
электрона и дырки, Яэл-дФ = - 2
(23.7)
(23.8)
X ^к'Фу"
кк'
Запишем правую часть уравнения (23.2) в явном виде
ЕФ = Е 2 c^ai.dtФр. к1к2
Выражение (23.7) упростим известным образом, перетащив все операторы
уничтожения направо и учтя также, что действие на Фу как электронных
операторов уничтожения, так и дырочных операторов уничтожения дает в
результате нуль. Если еще поменять индексы 3, 2, 4 местами, то мы,
наконец, получим для (23.7)
Яэл-дФ = 2 Ckgk^kj^k^ Ф V X
А
W
&
Ь" к.
К ki
к2 к3
V L
)}•
(23.9)
2 з '_рр(
V L)' \F L
Взглянув на выражения (23.6), (23.8) и (23,9), можно увидеть, что в этих
выражениях появились линейные комбинации волновых функций, которые в
целом имеют вид (23.3). Но, как мы знаем (см. 13.37)), функции вида
(23.3) для различных векторов к взаимно ортогональны. На этом основании
Предыдущая << 1 .. 53 54 55 56 57 58 < 59 > 60 61 62 63 64 65 .. 118 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed