Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Хакен Х. -> "Квантовополевая теория твердого тела" -> 69

Квантовополевая теория твердого тела - Хакен Х.

Хакен Х. Квантовополевая теория твердого тела — М.: Наука, 1980. — 344 c.
Скачать (прямая ссылка): kvantovayateoriyatverdogotela1980.djvu
Предыдущая << 1 .. 63 64 65 66 67 68 < 69 > 70 71 72 73 74 75 .. 118 >> Следующая

коммутаторы между одной парой операторов и другой
204 ЭЛЕКТРОНЫ В "ЗАМОРОЖЕННОЙ" РЕШЕТКЕ [ГЛ. IV
парой или четверкой операторов, т. е., например, выражения вида [ak+qak,
"?'%']• (27.20)
Эти коммутаторы вычисляются в упражнении 4 к § 46.
После небольших преобразований получаем уравнение движения
^ "57" (ak+qak) = (?"k - ¦fi'k+q) ("k+qak) +
~Ь 2 vq' K^k+q^k+q') (як'+ч'Як')- (ak'+q'ak') (ak+q-q,fl!k)}. (27.24)
k'q'
Дальнейшему рассмотрению (27.21) существенно поможет обращение к методу
Эренрейха и Коэна. Поскольку мы все равно ищем уравнения движения для
средних значений вида (27.12), то само собой напрашивается образовать
средние значения в обеих частях (27.21) относительно (функций состояния
Ф. Тогда сразу будет видно, что слева появляются средние значения,
содержащие два оператора, а справа, напротив,-четыре оператора. Тем самым
получается последовательность иерархически связанных уравнений. Но эта
последовательность, если обратиться к основам метода Хартри, может быть
оборвана.
Как было отмечено в задании к § 20, в методе Хартри среднее значение от
четырех произвольных операторов можно разложить на произведение двух
средних значений, каждое из которых содержит по два оператора. С помощью
очевидного видоизменения этого правила полагаем
<Ф|ф+(у')ф(у)ф+(х/)ф(х)|Ф> 2*
" <Ф|ф+(у,)ф(у)1ФХФ1ф+(х,)ф(х)|Ф>. (27.22)
Если сделать преобразование Фурье обеих частей (27.22), то
непосредственно получается соотношение
<Ф j ata^at^ | Ф> = <Ф | | Ф> <Ф | | Ф>. (27.23)
Соотношение (27.23) дает нам возможность упростить правую часть (27.21).
Тогда получаем
гй <(Ф I ak+q(r)^| Ф) = (7?к - -^k+q) ^Ф | ak+qak I Ф) "Ь
+ 2 ^q' {<ф I ^+q"k+q' |Ф> <0>| a^+q^ | Ф> -
k'q'
- <Ф | Як'+ч'Лк' | ф> <ф| ^+q-q'"k I Ф>}. (27.24)
Уравнение (27.24) можно, используя идею Бома и Пайнса, уп-
ростить еще больше. Произведения средних значений в. правой
§ 27]
ПЛАЗМОНЫ
205
части содержат как волновой вектор q, так и волновой вектор q'. Средние
значения, вообще говоря, являются комплексными величинами, т. е. имеют
некоторые фазовые множители е\ Эти фазовые множители зависят,
естественно, от операторов а (или их индексов). В частности, от индексов
q и q'. Предположим теперь, что фазовые множители при q ^ q' не связаны
друг с другом. Если теперь провести суммирование в правой части (27.24)
по q', то все члены суммы, ввиду отсутствия корреляции между фазами,
выпадают и остается только один, когда фазы скоррелированы, т. е. когда q
= q'. В рамках этого "приближения случайных фаз" выражение (27.24)
переходит в выражение
i% W <ф I ak+1ak I Ф> = - Е*+ч) <Ф I "k+qflk | Ф> +
4- 2vq {rek+q - ик) 2 <Ф I Як'+ч"к' | Ф>, (27.25)
к'
где использовано сокращенное обозначение
<ф I "к ак I Ф> = Пк- (27.26)
пк представляет, очевидно, среднее число заполнения состояния к. Далее
полагаем, что q в уравнениях (27.25) фиксировано, а к, напротив, может
принимать все значения. Поскольку в правой части (27.25) стоит сумма по
к', то мы по существу имеем дело с системой связанных уравнений для
средних значении
<Ф 14+чаъ | Ф>. (27.27)
Эта система уравнений может быть решена сразу. Для этого перенесем первое
выражение, содержащее разность Ек -Ek+q, из правой части (27.25) в левую
часть и поделим на общий множитель, вернее сказать .оператор, при
(27.27). Тогда получаем
<Ф | ak+qflk | Ф> =
= ^ Vq {^k+q 77kl (ФI (r)k'+q(r)k' | Ф^- (27.28)
ih~dt+(Ek+q~ ^k) k'
Поскольку мы уже научились обращаться с операторами, то деление обеих
частей (27.28) на выражение, содержащее оператор d/dt, не должно
шокировать читателя.
Наша конечная цель состояла в том, чтобы ввести уравнение для фурье-
компонент зарядовой плотности или, более точно, для среднего значения
(27.12). Для этой цели просуммируем обе части (27.28) по к, после чего
получим уравнение
206
ЭЛЕКТРОНЫ В "ЗАМОРОЖЕННОЙ" РЕШЕТКЕ
[ГЛ. IV
т. е. уравнение для pq. Для решения уравнения (27.29) сделаем подстановку
pq = ei?V-a< pq (0). (27.30)
Дифференциальный оператор d/dt в знаменателе (27.29) при использовании
экспоненциальной подстановки (27.30) переходит просто в выражение iQq- а.
Поскольку обе части (27.29) сокращаются на рь, то мы получаем важное
соотношение
1 = vq 2 _ + Як+Ч - Ек f (27.31)
Здесь частота ?2q и фактор затухания а еще подлежат определению.
Положение Qq(a = 0) можно увидеть на рис. 35а. На этом
рисунке Q является абсциссой, а правая часть (27.31)-ординатой. Проекции
точек пересечения графика функции /(?2Ч) с прямой, проходящей на высоте,
равной единице, на ось абсцисс определяют возможные значения Q. Из этой
диаграммы отчетливо видно, что имеются два типа собственных значений:
собственные значения, лежащие вблизи (l/ti)(Ek+q-Еъ), и второй тип,
лежащий за пределами этой области и имеющий единственное собственное
значение. Численный расчет
(27.31) для малых значений q показывает, что это собственное значение
действительно соответствует плазменной частоте ?2 = ?2П (выражение
(27.6)).
Тем самым доказано, что электроны в металле также могут совершать
Предыдущая << 1 .. 63 64 65 66 67 68 < 69 > 70 71 72 73 74 75 .. 118 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed