Квантовополевая теория твердого тела - Хакен Х.
Скачать (прямая ссылка):
Явз = 2 Kv4jarJauvW (\ 1' 1' I) +
1,1' \V L L Vj
+ 2 atvaf',Lai',vai,iffl (]L1 * О. (24.11) 1,г \V L V Lj
Здесь мы уже воспользовались тем. что пары членов в (24.8) дают
одинаковые вклады, так что множитель 1/2 выпадает. Поскольку
предполагается, что валентная зона в отсутствие эксито-на полностью
заполнена и рассматривается только один экситон, то имеет смысл вновь
ввести операторы электронной дырки согласно рецепту
I fli,v = di 1 aity = d\. (24.12)
Для упрощения обозначений, начиная с этого места, индекс L у электронов
проводимости будет опущен:
alfL = аи aj+L = а?. (24.13)
Если ввести в (24.11) операторы электронной дырки (24.12), то для
операторов в первой строке (24.11) получим
flKvflr.Lfli'.Lfli.v =d 1 dyavdt, (24.14)
или, после перенесения оператора уничтожения dx направо,
(24.14) = - at'avdtdi -f- af-ay. (24.14а)
Первая строка Нвз в (24,11) принимает тогда следующий вид:
н% = - 2 aUydUi w (11' >; 1)+s 4av 2 w (11; i; л.
i,r \V L L Vj 1' l \V L L V)
(24.15)
В этом выражении вторая сумма содержит только операторы ау Я) и,
следовательно, имеет ту же структуру, что и Яов(24.7).
§ 24]
ЭКСИТОНЫ ФРЕНКЕЛЯ
185
Аналогичным образом поступим с операторами во второй строке (24.11):
atvat' ,Lflv ,vai,b = d\a$d$a,i = - я^бы-. (24.16)
Тогда вторая строка Явз в (24.11) принимает следующий вид:
#вз = 2 ataidUiW(l l' V 1) - 2 ataxW (l 11 (24.17)
П7' \V L V l\ I (F I F ?; '
Также и здесь вторая сумма содержит только операторы affli, ко-
торые стоят в Я0 в (24.7).
Полный оператор Гамильтона II = И0 + HBS = 7/0 + -f-
+ получается суммированием (24.7), (24.15) и (24.17).
При этом имеет смысл все суммы в (24.7), (24.15) и (24.17), относящиеся к
зоне проводимости L, собрать в один эффективный гамильтониан Ях?(r)
(поменяв при этом в (24.15) 1 и Г местами);
Hf* = 2 atamHl<m,L + 2 а+а i X
l,m I
X^^M 1 1 1 1 Ml (24.18)
1 г \v L L VI If L V LlJ 4
де7
В этом выражении АЕь, как можно установить с помощью (24.9), от 1 не
зависит, так что AEL для электрона в точке 1 имеет смысл дополнительной
постоянной энергии, которая возникает благодаря кулоновскому
взаимодействию электрона с заполненной валентной зоной. Поэтому положим
Я|фф = 2 atam {Нм + 6,,mAEL) = 2 atamH^tL. (24.19)
l,m l,m
Перепишем, наконец, электронно-дырочную часть Но в (24.7) хорошо
известным нам образом:
Яд = 2 at,Vaт.уЯ^щ у = - 2 dmdlHу -f- 2 \ y =
l,m i,m 1
AE
= 2^т^,д + АЯ. (24.20)
l,m
После этих элементарных преобразований полный оператор Гамильтона
принимает следующий вид:
Я = 2 n\%atam + 2 H\*?Rdtdn -
l,m 1,ш
- 2 aUi.dtdiWi1 l' l' 1 ) + 2 aUidt'diW f1 *' *' 1) + AE.
pr {VLLVj^ti' \V L V LJ
(24.21)
186
ЭЛЕКТРОНЫ В "ЗАМОРОЖЕННОЙ" РЕШЕТКЕ
[ГЛ. IV
Каждый член этого оператора Гамильтона имеет наглядный смысл: в первой
сумме с членом ат один электрон в точке m уничтожается, а в точке 1 вновь
рождается. Эта часть Я описывает, следовательно, движение отдельного
электрона. Совершенно так же вторая сумма в (24.21) представляет движение
отдельной электронной дырки. Последняя сумма в (24.21) с операторами
di'^dydi = aydf'diUi
описывает уничтожение электронно-дырочной пары в точке 1 и последующее
рождение в точке Г, т. е. описывает совместный перенос электрона и
электронной дырки. Третий член в (24.21) не описывает никакого переноса:
электронная дырка остается в точке 1, а электрон - в точке Г. Как можно
увидеть, взглянув
А А
на определение W (24.9), W описывает кулоновское взаимодействие между
электроном и электронной дыркой в соответствующих точках кристалла.
Действительное движение электрона и электронной дырки осуществляется,
естественно, под влиянием всех членов в (24.21), причем относительные
величины этих членов определяют, какая из "форм" движения в
действительности реализуется.
В случае экситона Френкеля электрон и электронная дырка должны оставаться
постоянно в пределах атома или молекулы. Какие члены в Н этому
благоприятствуют, а какие препятствуют? Оба первых члена в (24.21) служат
причиной индивидуального движения отдельных частиц и, следовательно,
постоянно грозят разорвать электронно-дырочную пару. Поэтому они являются
"вредными". Третий член приводит к притяжению между электроном и
электронной дыркой, и поэтому он является благоприятным. Четвертый член,
наконец, особенно важен, поскольку он является причиной переноса пары
частиц из одной точки кристалла в другую. В предельном случае экситона
Френкеля, поэтому, члены в Нэфф, для которых 1Ф т, должны быть достаточно
малыми. Это требование выполняется довольно хорошо в случае молекулярных
кристаллов, так как перекрывание между молекулярными функциями Wj(,x - 1)
незначительно, а именно величина этого перекрывания прямо определяет
величину #афф для 1 ?= m (см. задание 1). Хотя в этой ситуации никакого
индивидуального движения не может быть, тем не менее электронно-дырочная
пара, как мы увидим, движется как целое.
Теперь целесообразно ввести явный вид функции состояния. При этом будем
