Квантовополевая теория твердого тела - Хакен Х.
Скачать (прямая ссылка):
значения энергии определяются выражением
| ?(к)=?0,полн + ТУ(к). (24.43)
Если разложить Е по волновому вектору к, то, как обычно,
190
ЭЛЕКТРОНЫ В "ЗАМОРОЖЕННОЙ" РЕШЕТКЕ
[ГО, IV
получаем
I Я(к)=Я(0)
2i.2
К*к
2т* *
(24.44)
Сравнение этого результата с (24.43) дает явное выражение для эффективной
массы экситона. Из предыдущего изложения следует, что подвижность
экситона Френкеля обусловлена ис-
/1 Г Г 1 \
ключительно обменным членом ^\V L V (РИС1, (Этот
процесс играет, вообще говоря, значительную роль при переносе энергии
органических молекул в растворах и известен как "процесс Фёрстера".)
Возбужденные состояния в твердом теле могут
Wrfa-l'j
Энергия' WL(x-\)
os
o,v
g-Cv.
¦as
f
Wy(x-l)
OS
[r OS
Рис. 33. Механизм распространения экситона Френкеля. Электрон,
находящийся на атоме I, переходит из возбужденного состояния в основное и
через кулоновское взаимодействие передает свою энергию атому в точке 1',
который переходит в возбужденное состояние.
распространяться благодаря обменному взаимодействию, хотя эффективная
масса электрона и электронной дырки может быть бесконечно большой (это
как раз тот случай, когда нет никакого перекрывания между соседними
волновыми функциями).
На практике, конечно, могут одновременно присутствовать
оба механизма: обменное взаимодействие и перекрывание.
%
Заданияк § 24
1. Почему .fli.mj (24.7а) при l^m в случае слабого перекрывания функций
Ваннье значительно меньше, чем Нi ij ?
2. Положить Bf = J e-ikIgk , J e*'Bk и
1
Т/Ft
вывести
Vn k
обратные соотношения
Bit
Уя k ie -'ВГ, Sk
-2 r*k,D+
§251
ВОЛНЫ ЭЛЕКТРОННОЙ ПОЛЯРИЗАЦИИ
191
= -4= У, е ikl5i. Показать, что оператор Гамильтона (24.36) при этом
становится диагональным:Н = 2 Е (к) Вк + Вк.
§ 25. Волны электронной поляризации
На примере экситонов Френкеля объяснение того, каким образом в рамках
вторичного квантования можно было бы описать поляризацию электронов
кристалла и объяснить возникновение поляризационных волн, оказывается
особенно простым. Для того чтобы по возможности наглядно представить наши
рассуждения,
а) Ф /л=у в) y=z г)
Рис. 34. Схематическое, представление распределения заряда функции Ваннье
(или атомной функции): а) - в) р-функции зоны проводимости; г) s-функция
валентной зоны.
учтем, несколько обобщив результаты § 24, что функции Ваннье wv (х - 1)
валентной зоны должны (подобно атомным s-функциям) описывать сферически
симметричное распределение электронного заряда (рис. 34). •
В зоне проводимости, напротив, в каждой точке 1, где расположен атом,
имеются три волновые функции, распределение заряда которых имеет форму
гантели, направленной вдоль одной из осей х, у или z (p-функции) (см.
рис. 34).
Будем помечать эти функции Ваннье индексом ц (= х- или у-, или z-
ориентации) и запишем их в виде wLill(x - 1). Обозначим индексы V и L, ц
одним индексом /:
Разложим полевые операторы г|)+(х) и г|)(х) по функциям Ваннье:
Эти волновые функции, естественно, теперь должны быть подставлены в
оператор Гамильтона (24.6). Следующие затем преобразования проводятся
практически так же, как и в предыдущих па-
Ф (х) = S oijWj (х - 1), ф+ (х) = 2 at,iw* (X - 1). (25.1)
1б2 ЭЛЕКТРОНЫ В "ЗАМОРОЖЕННОЙ" РЕШЕТКЕ [ГЛ. TV
I
раграфах, так что можно сразу написать конечный результат: гамильтониан
(24.36) следует заменить гамильтонианом
н = Ц Д^т.^о.общ + 2 (1 - 1'), (25.2)
1,ц 1,1'
|А,Ц'
где
WV,ii(l-l') =
- J j Wy (Х - l) WL.H (X - 1) J-ц,*^, (X7 -Г) WV (x'-l')dSxdSx'.
Смысл этого последнего выражения наглядно пояснен на рис. 33. Однако
значительно более важно, нежели повторное введение гамильтониана (25.2),
для нашего понимания сходства экситонов Френкеля с волнами поляризации,
следующее: представим себе ряд точечных зарядов е,- в точках 1,
кристаллической решетки. Выражение для энергии взаимодействия между
некоторым дополнительным зарядом и квантованным полем кристаллических
электронов имеет следующий вид:
J V- (х) ^Г] Ф (х)d3x- (25-3)
Если в это выражение вместо полевых операторов и ф подставить разложения
(25.1), то (25.3) переходит в
2 abai'J' f w* (х - !) П~Т7\ wi' (x ~ ^ d3x¦ (25.4)
Как и в предыдущих параграфах, мы примем, что между волновыми функциями
нет никакого перекрывания, так что в сумме
(25.4) остаются только члены с Г = 1. Далее, члены, в которых к тому
же / =для нас неинтересны, поскольку выражения вида J х означают лишь
постоянный сдвиг энергии, который, таким образом, не связан с
электронными переходами. Поэтому далее будут рассмотрены только те вклады
в (25.3), для которых 7=5^/'. В интеграле (25.4), который распространен
по всему объему, исключим вначале элементарную ячейку с радиусом-вектором
1; и разложим 1/1 х - 1J в ряд по степеням 1/11 - 1,1, причем через 1
вновь обозначены фигурирующие в (25.1; 2) радиусы-векторы точек
локализации функции Ваннье.
Введем сокращенные обозначения
х-1 = 1, (25.5а)
li -1 = R, ; (25,56)
ВОЛНЫ ЭЛЕКТРОННОЙ ПОЛЯРИЗАЦИИ
193
откуда следует
х -1, = S -R.
