Квантовополевая теория твердого тела - Хакен Х.
Скачать (прямая ссылка):
уравнение (23.2), в левой части которого стоят выражения (23.6) и (23,9),
а правая часть представлена выражением (23.8), может быть удовлетворено
только тогда, когда равны между собой коэффициенты функций (23.3).
Сравнивая коэффициенты, сразу получаем систему уравнений для
коэффициентов Ck,k2 i й2А2 ti2k3
ck,k,
2^ + 2^+COnst
)-
- 2 ck,,k
k3k.
•M
kl k4
L V
k2 ki
V L
:3)} = Ес^г. (23.10)
k2 k3^ _ W (k* kl
V l) \v l
Ниже будет показано, что эта система уравнений полностью эквивалентна
обычному двухчастичному уравнению Шредингера, причем между обеими
частицами существует кулоновское взаимодействие. Для этого упростим
матричный элемент W, который определяется выражением
W(K К к2 кз) =
\L F V L J
= J J фк"ь(х) фк"г.(*') j-фкг.у (*') фк"ь (*) d3xd3x', (23.11)
ЭКСИТОВЫ ВАННЬЕ
179
использовав для волновых функций в зонах явный вид блохов-ской волны
фк,5 (х),= еЛхмк>/ (х). (23.12)
Затем разложим функции и, которые зависят как от х, так и от к, в ряд
Тейлора по к. Тем самым мы уже делаем предположение, что важны только те
матричные элементы, для которых значения к малы. После этого получаем
формулу
/к, к. к" к.\
WI 1 4 2 3"
\L V V L)
^ II e^iklXe"ik'x' j x eik^'eik3*{| u0iL (x) |2| u0)V (x') |2 +
+ k^Vk^k.,!. (x))k,=o (x) | ua,v (x0 |2+ .-.}d3x dsx'. (23.13)
В качестве следующего шага сделаем предположение, что играющие заметную
роль значения к настолько малы, что из всего ряда Тейлора нужно сохранить
лишь самый первый член. Мы оставляем, таким образом, в фигурных скобках в
(23.13) только член |и0>ь(х)|2|ио,v(x')|2. Эта функция периодична с
периодом решетки, однако внутри элементарной ячейки она может быстро
осциллировать. Поскольку мы приняли, что важны только малые значения к
(т. е, 1к| < jt/Zo, где Iq - постоянная решетки), то экспоненциальные
функции в (23.13) внутри каждой элементарной ячейки можно считать
практически постоянными. Поэтому выражение (23.13) можно вычислить,
усреднив его по отдельным элементарным ячейкам. Поскольку блоховские
функции должны быть нормированы в объеме V на 1, то при этом усреднении
проявляется множитель 1 /V2. После этого вместо (23.13) получаем
следующее выражение;
W л?-г f I g-ikix-i(-ks)x* f-eik,x+i(-k4)x' рх Рх'. (23.14)
V J J I х - х I
Пренебрежем, наконец, в уравнении (23.10) еще вторым членом в фигурных
скобках, который описывает кулоновское обменное взаимодействие и который,
как можно подробно показать, для малых значений к, т. е. при достаточно
больших расстояниях между электроном и электронной дыркой, быстро
стремится к нулю. Мы утверждаем теперь, что система уравнений (23.10) с
упрощением (23.14) и при пренебрежении кулоновским обменным
взаимодействием совершенно эквивалентна следующему двухчастичному
уравнению Шредингера;
iZ*
^const
180
ЭЛЕКТРОНЫ В "ЗАМОРОЖЕННОЙ" РЕШЕТКЕ
[ГЛ. IV
Для доказательства этого утверждения представим волновую функцию Ха) в
виде
Ф (х1> ха) = 2 ~Г eik'X'-ikaXs (23Л6)
kika
и выведем из (23.10) (с указанным упрощением (23.10)) уравнение (23.15)
для \|), Для этого умножим (23.10) на
_l_eiklXl-2 к2х, (23.17)
и просуммируем по ki, кг. Рассмотрим вначале часть, относящуюся к
кинетической энергии:
2 1 (П2Щ %2к\ \
Ё'' [^2 + 2^ + C°nStJ- (23-18)
Поскольку k2eikx можно представить в виде
-2 + 4 + 44ikx = -Ае,кж,
дх2 ду2 dz2)
то (23.18) переходит в следующее выражение:
2^ ~irY А* + const )|теЛ,хНк!^'к-' <23-19)
Согласно (23.16) это последнее выражение идентично выражению
2тг 1 2
Lt V
om ^2 + const j ф (xlt x2). (23.20)
Часть, описывающая взаимодействие, после умножения на (23.17) и при
использовании (23.14) принимает вид
2 -f ^kixi-ik2X2 2 х
кз^4
х Г (*e-iktx+ik2x' L-^gibax-ib^x' dsxdsx'. (23.21)
j *2 X - X
Соберем вместе все экспоненциальные функции, которые содержат ki и кг, и
воспользуемся соотношением
2 eik(xi-x') = б (хх - х') (функция Дирака) (23.22)
v к
при k =ki и к = кг.
§ 23]
ЭКСИТОНЫ ВАННЬЕ
181
Ввиду появления двух б-функций оба интегрирования по d3x и d3x' пропадают
и (23.21) переходит (при х = = xj и х'=х2) в выражение
2 Cb3b.4-eik"x'-ik^
k3k4
(23.23)
Но это выражение тождественно совпадает с выражением
¦rpfa, х2).
(23.24)
Если теперь собрать (23.20) и (23,24) вместе, то получится левая часть
уравнения (23.15). Поскольку правая часть получается тривиальным образом,
то тем самым эквивалентность (23.15) упрощенному уравнению (23.10)
доказана.
Это рассмотрение показало, что электрон и электронная дырка ведут себя
совершенно так же, как две частицы с противоположными зарядами и
некоторыми эффективными массами шь и Шу, Поскольку между этими двумя
частицами существует кулоновское притяжение, то получается связанное
состояние этих двух частиц, обладающее водородоподобным спектром. Спектры
подобного рода были обнаружены и детально объяснены при поглощении света
кристаллами Никитиным и другими авторами. На рис. 32 представлен один из
подобных спектров.
Следует указать еще на одно важное обстоятельство. В нашем рассмотрении
