Квантовополевая теория твердого тела - Хакен Х.
Скачать (прямая ссылка):
153
Поскольку амплитуды ah и at являются строго заданными
операторами с перестановочными соотношениями (13.4), (13.5),
(13.6), то единственными величинами, которые можно варьировать, являются
волновые функции q>ft. Поэтому наша цель состоит в следующем. Потребуем
выполнения условия
и вычислим выражение в левой части уравнения (20.5) как функцию или,
точнее говоря, как "функционал" qv Затем определим ф,; с помощью
варьирования. Для того чтобы выполнить эту программу, подставим (20.2) и
(20.3) в уравнение Шредингера (20.1). Поскольку операторы а+ и а не
зависят от интегрирования, а волновые функции ср коммутируют с
операторами, операторы можно вынести за знак интеграла, после чего
получаем следующее выражение для оператора Гамильтона II:
Теперь следует построить среднее значение этого гамильтониана на функциях
состояния (20.4). Для этого следует более обстоятельно обсудить различные
средние значения для отдельных операторов а+, а. Начнем с выражения
Для того чтобы провести вычисление этого выражения, рассмотрим в качестве
вспомогательного средства рис. 29. Точки на оси к обозначают здесь
отдельные квантовые состояния, в которые могут быть помещены электроны.
Действительно, занятые состояния к\, &2, &з и т. д. обозначены
вертикальными отрезками. Согласно соотношению (20.8), под действием
оператора уничтожения а.т один электрон в состоянии т должен быть
уничтожен. Если в этом состоянии электронов нет, то оператором
уничтожения можно подействовать непосредственно на основное состояние Ф0,
в результате чего получим нуль. Отличный от нуля вклад получится только
тогда, когда т равно одному из к. В примере, приведенном на рис. 29, т =
кз. Для того чтобы уничтожить электрон в состоянии ks, следует
переставить ат со всеми операторами рождения, стоящими слева от оператора
с индексом kj.
<Ф|Я|Ф> = Минимум!
(20.5)
с дополнительным условием
| <ф|ф> = 1
(20.6)
II ^ atam J ф* (х) А + Fp (х)| ц,т (х) iPx +
1т
X фж'(х')фГ (x)d3xd3x'. (20.7)
I 1
(20.8)
154
ЭЛЕКТРОНЫ В "ЗАМОРОЖЕННОЙ" РЕШЕТКЕ
(ГЛ. IV
Учитывая антиперестановочные соотношения (13.4-13.6), получим множитель
(- 1) в степени числа перестановок. Далее следует учесть, что ата\) =
&m,kj - atjam.Поскольку теперь в состоянии т больше электрона нет,
действие оператора уничтожения на стоящее в (20.8) электронное состояние
дает нуль. Поэтому в конце концов остается вычислить лшнь выражение
следующего вида:
<<•
•а4Фо1
4- 4-
4- 4*
.а?. иТ.,, ,
Rj-1 Rj-hi
о) 4-1)
переста-
новки
(20.9)
Теперь перепесем оставшийся оператор рождения at на освободившееся место
с индексом к}; при этом придется провести ровно
столько же перестановок, сколько и прежде, в результате чего знак минус в
(20.9) выпадает. Согласно (13.37), функции состояния с различными
электронными заселенностями взаимно ортогональны. Теперь в (20.9) слева
стоит функция состояния, в которой состояния к 1, к2, ..., kN заняты, а
справа стоит функция, в которой равным образом заняты все состояния,
вплоть до kj. Состояние kj = т, напротив, переставлено с состоянием I.
Согласно условию ортогональности, выражение (20.9) отлично от нуля только
тогда, когда kj = I. Поэтому получаем следующий результат для среднего
значения (20.8):
<< • • • | afam \а?1... a?NФ0> =
в)
kt к
Рис. 29. К вычислению среднего значения (20.8).
О
г7, если нг = fcb..., fcjv, в остальных случаях.
(20.10)
Тем самым мы вычислили те средние значения, которые служат мерой
одночастичных операторов в (20.7).
Теперь рассмотрим средние значения для энергии взаимодействия, Которая
задается выражением
<Ф | af ottOm'di' | Ф>. ' (20.11)
Для наглядности вычисления (20.11) снова приведем картинку (рис. 30).
§ 201
ЭЛЕКТРОНЫ В КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКЕ
155
Вертикальные отрезки на оси к вновь обозначают занятые состояния.
Рассмотрим вначале действие оператора уничтожения аг'. Отличный от нуля
результат действия этого оператора получается только тогда, когда
состояние к} = V. занято. Тогда функция состояния Ф переходит в
+ + + + / j\4ticno перест. /тл л п\
я*!-• • -а^фо-(- О ' (20.12)
причем всякий раз вновь, когда необходимы перестановки, чтобы перенести
оператор уничтожения аг- слева через операторы
рождения d/ti до места к,, появляется множитель (- 1).
Пусть теперь оператор уничтожения ят' действует
соответствующим образом к, кг kd
на состояние (20.12). Вновь /'""ч не равный нулю вклад по- (т'=Ы лучится
только в том слу- Ч-'
чае, если т' совпадает с од- _j_______
ним из оставшихся состояний к, кг kd k,t к
к\, &2, . •kN (исключая состояние к}) и вновь появится множитель (-1) в
степени числа перестановок. Из состояния (20.4), занятого N электронами,
возникает занятое N - 2 электронами состояние
Я/д . . 1 ^
X .. • 'Яй^ФцХ
|^число перест.
(20.13)
В результате последующего к, к,, к3 к4 к
действия обоих стоящих в _ т,
(20.11) операторов рождения ^ ^вычислению среднего значе-at и а^из
состояния (20.13)
вновь образуется состояние с N электронами, которое либо совпадает с
