Квантовополевая теория твердого тела - Хакен Х.
Скачать (прямая ссылка):
энергия электронной дырки отрицательна, так что ее нельзя сравнивать со
свободной частицей. Однако максимум энергии типичной валентной зоны (см.
рис. 27) находится точно в точке к - 0. Если теперь разложить энергию
вблизи точки к - 0 в ряд, то энергия примет вид
Опуская неинтересный постоянный член в (21.13), получим, наконец,
следующее выражение для оператора Гамильтона электронных дырок:
Таким образом, становится очевидным, что электронные дырки ведут себя как
частицы с положительной эффективной массой т*.
Отсюда, однако, еще не следует, что электронные дырки как сами по себе,
так и под действием внешнего поля ведут себя как частицы с
противоположным электрону, т. е. положительным, зарядом. Для того чтобы
показать это, рассмотрим оператор плотности электронного заряда, который
с помощью проведенных в § 12 рассуждений можно сразу представить в виде
Если подставить сюда еще разложение оператора ф по зонным функциям, то
получим
Будем считать, что сумма в (21.17) распространяется на все состояния
валентной зоны. Чтобы перейти к электронным дыркам, вновь воспользуемся
соотношением (21.2) и поменяем, согласно (21.4), порядок следования
операторов так, чтобы операторы уничтожения электронных дырок вновь
оказались справа. Тогда для оператора зарядовой плотности, который
выражен
(21.14)
(21.15)
р(х) = еф+(х)ф(х).
(21.16)
р (х) = е 2 фь (х) фк' (х) Як (r)к'-
(21.17)
кк'
ЭЛЕКТРОННЫЕ ДЫРКИ
165
теперь через операторы электронных дырок, получаем следующее выражение:
Р(х) = "2|фк(х)|2 -фк'(х)фк (x)dfdk'. (21.18)
к кк'
Первая сумма в этом выражении представляет собой, очевидно, плотность
заряда всей заполненной электронами валентной зоны. Поскольку кристалл в
целом нейтрален, следует принять, что эта зарядовая плотность
компенсируется положительно заряженными ядрами. Итак, теперь остается
лишь вторая сумма, в которой, впрочем, изменен порядок следования
индексов. Эта сумма имеет структуру, полностью аналогичную выражению
(21.17), которое относится к электронам, только знак заряда, очевидно,
изменен на противоположный. Проверим, действительно ли среднее значение
этого выражения представляет собой плотность заряда, учитывая,
естественно, что заряд электрона отрицателен. Для этого вычислим среднее
значение дырочной части выражения (21.18) для электронной дырки в
состоянии к0:
<р> = /Фк.|(-е)2 qv (х) <рк (х) d?dk,\ Фко\ (21.19)
\ кк' /
при
Фк" = <Ё'Фу. (21.20)
Ход решения повторяет предыдущие вычисления этой главы и непосредственно
приводит к результату
<р> = - е | <рк012. (21.21)
При этом, подчеркнем это еще раз, зарядовая плотность заполненной зоны,
ввиду ее компенсации зарядами ядер, опущена.
В заключение покажем, что заряд электронной дырки в выражении,
описывающем взаимодействие с внешним полем, меняет свой знак на обратный.
Для этого в качестве примера рассмотрим постоянное электрическое поле.
Выражение оператора потенциальной энергии тогда, согласно приведенным в §
12 рецептам, имеет вид
Vполе = | г|}+ (х) (- еЕх) г|} (х) сРх. (21.22)
Вновь подставим разложения (20.2), (20.3), после чего сразу получим
Иполе = S Мъъ'Оь at-'. (21.23)
k,к'
причем матричные элементы Мкк' даются выражением Мкк' = J<jv(x)(-
€Ex)<pk'{x)ds;r, , (21.24)
186 ЭЛЕКТРОНЫ В "ЗАМОРОЖЕННОЙ" РЕШЕТКЕ [ГЛ. IV
Теперь проведем преобразования (21.2) и (21.4), тогда сразу получаем
Рполе = 2 Мы - 2 4 (Мк.к)*. (21.25)
к кк'
Первая сумма вновь представляет собой потенциальную энергию заполненной
зоны в электрическом поле. Здесь также можно вновь предположить
компенсацию заряда остовом решетки, так что важным для нас остается
второй член в выражении (21.25). Также и здесь, очевидно, знак меняется
на противоположный. Это выглядит, следовательно, так, как будто поменялся
знак заряда.
Рис. 31. а) В эффекте Холла носители заряда испытывают отклонение при
движении в скрещенных электрическом и магнитном полях. Благодаря
накоплению заряда возникает разность потенциалов Холла, б) Аномальный
эффект Холла можно понять, предположив, что заряды имеют положительный
знак.
Как можно видеть из предыдущего изложения, обращение знака электрического
заряда электронной дырки является простым следствием свойств
перестановочных соотношений. С другой стороны, существование электронных
дырок доказано многими экспериментами, в особенности аномальным эффектом
Холла (рис. 31). Все это дает прекрасный пример того, как на основе
простых закономерностей квантовотеоретического рассмотрения можно прийти
к далеко идущим физическим следствиям, которые оказываются чрезвычайно
важными для приложений (вспомним, например, транзисторы).
§ 22. Взаимодействие между электронами и дырками
Рассмотрим кристалл, обладающий полупроводниковыми свойствами, т. е.
примем, что в основном состоянии этого кристалла валентная зона полностью
занята электронами, а зона проводимости, напротив, пустая. В этом
параграфе будет исследован вопрос о том, какие эффективные взаимодействия
