Квантовополевая теория твердого тела - Хакен Х.
Скачать (прямая ссылка):
137
операторы а+ и а были классическими величинами, то в рамках теории
колебаний решетки, которые возбуждаются классическими силами (суммы по к
в (16.34) и (16.35)), мы нашли бы точно те же уравнения вида (16.34) и
(16.35) для классических амплитуд b и Ь+ (см. к этому задание 1). Эта
тесная аналогия во многих случаях оказывается чрезвычайно полезной,
поскольку она позволяет решать уравнения вида (16.34) и (16.35)
совершенно аналогично уравнениям классической физики.
Задания к§ 16
1. Рассмотрим особый случай Ньа = 0. Используя для Но выражение
(16.13), показать:
а) если решение уравнения
причем Ф0 является вакуумным состоянием, то решение
Указание. Применить преобразования (16.5), (16.4), правила
(16.15) и (16.18), а также равенство
Последнее равенство доказывается с помощью разложения экспоненциальной
функции в ряд при учете того, что ЯоФо = 0.
Я0Ф = гйФ
(А 16.1)
в шредингеровском представлении имеет вид
ф = e-i(eI+ml(o1)(a + _l (b+)m' Ф0, V т11
(А 16.2)
гйФ = 0
(А 16.3)
имеет в представлении взаимодействия следующий вид:
(А 16.4)
и, в совершенно общем случае,
б) если решение (А 16.1) имеет вид
(А 16.5)
то соответственно решением (А 16.3) является
Ф - 2 C("k.mw}(r){nk.(tm)wp
(А 16.6)
(А 16.7)
138
КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ
[ГЛ. ш
2. а) Классическая функция Гамильтона гармонического осциллятора,
находящегося под воздействием вынуждающей силы, имеет вид
I
н =?+njfq2~f(t)q. (А 16.8)
Переписать уравнения Гамильтона для р и q в новых переменных
(А 16.9)
p(')"T7sfcp + /mm?)' р*(')"тЫ"Т^р + /'""!г)
и сравнить результат с (А 16.11) и (А 16.12).
б) Показать, что оператору Гамильтона
Н = tiu)b+b + %F*(t)b +%F(t)b+ (А 16.10)
отвечают следующие уравнения движения:
b+ = mb+ + iF*it), (A16.ll)
b = -mb-iF(t). (А 16.12)
При этом F(t) является классической "силой".
Решить (A16.ll) и (А 16.12) со следующими начальными условиями (почему?):
6(0) = 6, 6+(0 ) = Ь+, (А 16.13)
причем операторы Ь+ и Ъ заданы в шредингеровском представлении. Убедиться
с помощью решения, что bit), b+it) для всех моментов времени
удовлетворяют соотношению [6, 6+] = 1. Вычислить <Ф0|Ь|Фо> при ЬФо = 0 и
сравнить результат с результатом задания 4 в § 6, причем положить F = -
(^ - действи-
тельная величина).
| 3. Вывести уравнение для фермиевского оператора уничтоже-
ния ф(а:, t) в представлении Гейзенберга, используя (см. (13.30))
§ 16] ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ И ГЕЙЗЕНБЕРГА 139
заданный ниже гамильтониан
Н = J (х) {- Ц- А + V (х)} ф (х) сРх +
+ 4-J [ т|з+(х)ф+ (х') I х ^ х/1 Ф(х') ф(х) d3xd3x'. (А 16.14) Решение:
" + у ")¦(*¦') +
4- i> 4+(x,i <0i-т~-г ф (xr, t) 'ф(х, t)d3x'. (А 16.15)
J | х - х |
4. С помощью оператора Гамильтона (15.25) вывести уравнения движения
для произведения операторов Як,вк2.
Г л а в а IV. ЭЛЕКТРОНЫ В "ЗАМОРОЖЕННОЙ" РЕШЕТКЕ
§17. Электроны в кристаллической решетке: краткое изложение теории Блоха
Мы рассматриваем кристаллическую решетку, атомы которой расположены в
пространстве строго периодично и покоятся. Тем самым мы временно не
учитываем колебаний решетки. Каждый электрон в кристаллической решетке
движется в электрическом поле атомных ядер и всех остальных электронов.
Таким образом, речь идет о чрезвычайно сложной проблеме многих частиц.
В блоховской теории электронов в кристаллической решетке проблема многих
электронов сводится к одноэлектронной проблеме следующим образом.
Представим себе, что действие атомных ядер и всех остальных электронов на
выделенный электрон можно описать в целом, задав наперед поле потенциала
F(x). Поскольку элементарные ячейки решетки расположены строго
периодично, то этот потенциал тоже должен обладать периодичностью решетки
(рис. 25). Это свойство мы отобразим формулой
F(x + l)=F(x), (17.1)
где 1 - один из векторов решетки, т. е. вектор, проведенный из одной
точки решетки к следующей. Одночастичное уравнение Шредингера, как
известно из обычной квантовой механики, имеет вид
Рис. 25. Общий вид изменения потенциала решетки.
Н(Рs (- ш А + v (х)) (х) = Е*(х)-
(17.2)
Теперь мы извлечем пользу из периодичности потенциала F. Для этого
определим "оператор трансляции" Т следующим свойством: если оператор Т
действует на некоторую функцию Fix), то координата х в F заменяется на х
+1:
Шх)=Лх + 1).
§ 17] КРАТКОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ ТЕОРИИ БЛОХА 141
Выберем в качестве функции Лх)=Я(х)ф(х) и примем во внимание, что в силу
(17.1) справедливо равенство
Шх)=Дх + 1)=Щ
Тогда получим Шх)ф(х)= Я(х)ф(х + 1)= Жх)Гф(х), или, после небольшого
преобразования, (ТН(х)- #(х)Г)ф(х)= 0. Поскольку это равенство
справедливо для любой функции ф(х), то отсюда следует, что в квантовой
теории
ТН-НТ = 0. (17.3)
Поскольку Т и И коммутируют, волновую функцию ф(х) согласно основным
правилам квантовой механики можно выбрать так, что она будет не только
собственной функцией оператора Н согласно уравнению (17.2), но и
собственной функцией оператора трансляции Т:
7\p(x) = Аср(х). (17.4)
Тогда га-кратное применение оператора трансляции к функции ф(х) приводит
