Квантовополевая теория твердого тела - Хакен Х.
Скачать (прямая ссылка):
образом не ограничены только квантовой теорией поля. Они появляются уже в
обычной квантовой теории, однако мы не предполагаем здесь, что читатель
знаком с ними.
') Результаты этого параграфа будут использованы сначала в § 27, а затем,
начиная с главы V.
§ 16] ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ И ГЕЙЗЕНБЕРГА 131
Во многих практически важных случаях оператор Гамильтона можно разбить на
две части:
1) одну часть Н0, которая описывает движение свободных частиц, когда
можно считать, что нам известны решения соответствующих уравнений
Шредингера,
2) и другую часть, представляющую взаимодействие между одинаковыми или
разными частицами: Явз.
В этих обозначениях, следовательно, уравнение Шредингера имеет следующий
вид:
В этом представлении, которое называется представлением Шредингера,
операторы не зависят от времени, а функция состояния Ф, напротив, зависит
от времени. Кажется удобным упростить уравнение (16.1), используя то, что
решение простого уравнения
Шредингера
уже известно. Для последующего достаточно даже, если это решение известно
лишь формально. Запишем решение (16.2) в виде
где оператор Uit), действуя на начальное состояние Ф°(0), дает искомое
решение Ф°(?), Оператор U можно представить в виде следующей
экспоненциальной функции:
Доказательство того, что (16.3) вместе с (16.4) удовлетворяет уравнению
(16.2), проводится, как в случае обычного дифференциального уравнения
первого порядка, подстановкой экспоненциальной функции в уравнение и
дифференцированием. Хотя Но является оператором, этот метод применим и
здесь, поскольку Н0 коммутирует сам с собой и, следовательно, с (16.4).
Для решения (16.1) мы сделаем совершенно аналогичную (16.3) замену в виде
логом метода "вариации постоянной" в теории обычных дифференциальных
уравнений. Если подставить (16.5) в (16.1), перемножить члены в левой
части и выполнить дифференцирование в правой части, то сразу получаем
| (Я0 + Я")ФШ = *йФ(*).
(16.1)
Но Ф°Ш = ЛФ°Ш
(16.2)
Ф°Ш = ж")ф°(0),
(16.3)
(16.4)
| ф = ЯФ
(16.5)
причем функция Ф еще неизвестна. Эта процедура является ана-
н0и ф + нъгиФ = н0иФ + тиФ.
(16.6)
9*.
|32 КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ (ГЛ. III
Члены с Но в уравнении (16.6), очевидно, выпадают, а оставшиеся члены
уравнения мы умножим слева на U~l и введем краткое обозначение
I Я-!ЯВЗЯ = ЯВЗ, (16.7)
после чего окончательно получим уравнение следующего вида:
1 ЯВЗФ=№Ф. (16.8)
Новый оператор взаимодействия Явз содержит Но теперь в экспоненциальной
функции (см. (16.4)), поэтому могло бы показаться, что проблема стала
только существенно сложнее, поскольку ведь сначала нужно определить Явз.
На самом деле, однако, мы можем вычислить Явз очень просто. В качестве
конкретного примера рассмотрим Гамильтониан Явз, который встретился нам в
предыдущем параграфе и который описывает взаимодействие между электронами
и колебаниями. Типичный член суммы Явз (см. (15.21)) имеет вид
U~W.akb"U. (16.9)
Преобразуем теперь (16.9) с помощью следующего приема: представим
единичный оператор в несколько необычном виде
1 = U-4J. (16.10)
Тогда выражение (16.9) преобразуется к виду
(trWtf) (Я"ЧЯ) (Я-1М7). (16.11)
Рассмотрим теперь подробно первый член
еп а?,е п . (16.12)
Опираясь на рассмотренный в предыдущих параграфах пример, представим Я0 в
виде суммы двух членов: электронного вклада и вклада от колебаний решеткп
Я" = 2 (r)k Т 2 %con.bp/w. (16.13)
k . w
Поскольку электронные операторы коммутируют со всеми фо-нонными
операторами, то все фононные операторы, встречающиеся в Но в (16.12),
выпадают. Равным образом можно принять, что все операторы коммутируют со
всеми произведениями (r)kak для k^k', при этом сами операторы между собой
антиком-мутируют, но при двойной перестановке знак остается прежним.
§ 16] ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ И ГЕЙЗЕНБЕРГА 133'
Таким образом, наша задача состоит теперь в том, чтобы найти выражения
вида
4 m i?k'°k'ak'* + -iek-ak<ak.t ,лал/\
/ (t) = е ak-e . (16.14)
Эта задача, однако, уже была решена в § 14:
trV.tf s=/ (t) = eiBk'*a^. (16.15)
Остальные присутствующие в (16.11) члены могут быть определены совершенно
аналогичным образом (см. §§ 14, 5). Таким образом, мы получаем
U~1akU = e"iBktak (16.16)
и
U~xbwU = е~*ю^Ьж. (16.17)
Ради полноты добавим еще одно соотношение
и~гь1и = е1ш"*Ь+. ' (16.18)
Из этого рассуждения становится очевидным, что все произведения
операторов а, а+, Ъ и Ъ+ можно, применив замены (16.15-16.18), простым
образом перевести в представление взаимодействия. Для нашего конкретного
примера оператор Гамильтона (15.25) переходит в следующий оператор
Гамильтона в представлении взаимодействия:
Явз = 2 (%w"k+wekbwel(Ek+w-Ek-<l>w^ + k,w
+ ngWa^bte-^^-^). (16.19)
б) Представление Гейзенберга. В предыдущем разделе мы воспользовались
формальной возможностью решить уравнение Шредингера с гамильтонианом Н0.
В представлении Гейзенберга мы пойдем еще дальше, формально решив
уравнение Шредингера
| #<D(") = ifc6(t), (16.20)
т. е. уравнение, относящееся ко всей проблеме в целом, включая
