Квантовополевая теория твердого тела - Хакен Х.
Скачать (прямая ссылка):
Вычисления средних значений. Ввиду тесной аналогии между бозе- и ферми-
операторами кажется возможным определить средние значения, которые
вычисляются с помощью операторов а и а+ точно так же, как это было
сделано для бозе-операторов. Тогда оказывается (см. задание 6), что
вычисление средних 'значений дает тот же разультат, что и в теории
шредингеровской волновой механики, которая экспериментально лучше всего
подтверждена в нерелятивистской области.
Руководствуясь § 4, мы введем аксиоматически следующие правила:
Квантовомеханическое среднее значение оператора Q по состояниям Ф
строится следующим образом:
Скобки (бра и кет) должны обладать следующими свойствами:
Здесь мы опустили индекс д у операторов уничтожения а и рождения а+.
Используя перестановочные соотношения (13.4-13.6) и свойство основного
состояния, можно установить ортогональ-
(
I
/(*!,¦¦¦, Хдг)
Ef(x xN), (13.32)
| О = < ФIQIФ >.
При этом постоянно предполагается, что Ф нормирована: <Ф|Ф> = 1
(13.33)
(13.34).
<аФ1х> = <Ф|а+х>> <?+Ф1х> = <Ф!пх^-
(13.35)
(13.36)
112
КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ
[ГЛ. Ш
ность собственных состояний (13.11) (см. задание 4):
<Ф{"> | Ф{ш}> = IJ б" , (13.37)
в
т. с. правая часть отлична от нуля только при п\ = тi, п2 = тпг, ...
Задания к § 13
1. Вывести соотношения (13.8), исходя из перестановочных соотношений
(13.4-13.6).
Указание. Подставить в левую часть (13.8) разлояшние
(13.1) и применить (13.4-13.6), а также представление б-функ-щш,
приведенное в задании- 2 § 12.
2. Показать, что функции ф+(х)Ф0 линейно независимы, т. е. что из
= j g (х) ф+ (х) Ф0dsx = 0 следует g (х) = 0.
Указание. Построить выражение <ф+(х')Ф0|/>.
3. Показать, что если подставить (13.26) во вторично квантованное
уравнение Шредингера НФ = = Е Ф, причем И определено в
(13.30), то получится уравнение Шредингера для двух частиц в
"конфигурационном пространстве" (13.31).
4. Доказать (13.37).
Указание. Подставить (13.11) в левую часть уравнения (13.37) и
последовательно применить (13.36), что приводит к следующему результату:
/
5 ff и,
гп
I
6 ри>
Рис. 23. Пример функции состояния Ф {"} (вверху) и функции состояния Ф{т>
(внизу).
<Ф0| ...a?...a?^4afpx
х(а?Г...(4Л---Фо>
(в качестве примера - рис. 23). Убедиться в следующем: если для
некоторого р число заполнения т" = 0, а щ = 1, то оператор а," можно
"протащить" направо к Ф0, что дает а"Фо = 0. Если же для некоторого р
число заполнения т"=1, а п" = 0, то оператор а? можно "протащить" налево:
<Ф01 а?...), а затем с помощью
(13.35) преобразовать к виду <ЯцФ0 | • ••>> что дает в результате
-
нуль. Почему справедлив результат <Ф{П}|Ф{п}> = 1?
ОВ ОБРАЩЕНИИ С ФЕРМИ-ОПЕРАТОРАМИ
ИЗ
5. Показать для Ф{П> - (r)nltn, nN, что
<Ф{п} I | Ф{п>) = 0 для (А 13.1)
= пй для р, = v.J
6. Вычислить среднее значение оператора потенциальной энергии
Fon = J i|j+(x)F(x)i|j(x)d3a: (А 13.2)
для
Ф = <1Ф0> Ф = "Ф0. (А 13.3)
Указание. Подставить (А 13.3), (А 13.2) и (13.1) в <0lFonl(r)> и применить
результат предыдущего задания 5.
§ 14. Об обращении с ферми-операторами
а) Можно ли перенести сюда наши приемы § 5? Теперь вместо
рассмотренных в § 5 бозе-операторов b и Ь+ мы займемся исследованием
свойств ферми-операторов а и а+, удовлетворяющих следующим соотношениям:
аа+ + а+а= 1, (14.1)
(а+)2 = 0, (14.2)
а2 = 0. (14.3)
Хотя перестановочное соотношение (14.1) отличается от соответствующего
соотношения для бозе-операторов только лишь знаком, это изменение знака
приводит к существенным последствиям для свойств операторов а. Легко
убедиться, например, что операторы а + а. и а+ + а более не
удовлетворяют перестановочным соотношениям для ферми-
операторов. Можно также сразу установить,
что все степени операторов а+ и а выше 1 исчезают
(а+)" = 0 для п>2, (14.4)
ап = 0 для п > 2. (14.5)
Если мы рассмотрим комбинацию волновых функций вида
соФо + сщ+Фо =^н+)Ф0, (14.6)
то обнаружим, что эта комбинация является уже полной. Тем не менее
формально можно определить функции операторов а+ и а. В качестве примера
мы можем, конечно, представить выражение
/(a+) = Co(l+l*a+) (14.7)
8 х. Хакев
114
КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ
[ГЛ. Ill
в виде экспоненциальной функции
/ (о+) = с0 exp ^ а+) .
(14.8)
Нужно лишь иметь в виду, что разложение этой экспоненты в ряд по степеням
оператора а+ должно обрываться на втором; члене.
Теперь посмотрим, как можно было бы провести преобразования с применением
экспоненциальной функции (14.8). Для этого разложим в левой части
выражения
(которое мы кратко обозначили через а) обе экспоненциальный функции,
откуда сразу получим
Если теперь перемножить учитывая точный порядок следования множителей,
скобки и применить еще перестановочные соотношения (14.1), то сразу
получим
В последующем изложении последний члеп в (14.11) будет нам еще часто
встречаться. Поэтому мы введем особое сокращенное обозначение
Соответствующим образом можно вычислить и выражение
Тогда, принимая во внимание сокращенное обозначение (14.12), сразу
