Квантовополевая теория твердого тела - Хакен Х.
Скачать (прямая ссылка):
| |в|2+Ы2=1, uv* - vu* = 0. (14.43)
Ленко установить, что новые операторы ах , ах, а2 ,\а2 вновь
удовлетворяют соотношениям (14.1-14.3). Нацример, для (я^)2 мы получаем
следующее соотношение:
(я* )2 = (ai У и''1 - uv (af аг + a2at) + "If2 = 0. (14.44)
То же самое можно установить и для (од)2, (яг)2 и (я2+)2. Если в
выражение
ах а2 -f- а2ах (14.45)
подставить правые части (14.41) и (14.42), то симметричные произведения
оказываются равными нулю, поскольку оператор at
никогда не стоит за оператором aj.
Рассмотрим, наконец, еще выражение
а% ах -f- BjflJ, (14.46)
в которое мы вновь подставим правые части (14.41) и (14.42). Тогда
получаем
[я+, а2]+ | и |2 - [я2, ях] + u*v - [а+, a+]+uv* + [а" а+]+ | v |2,
(14.47)
где квадратные скобки обозначают симметризованные произведения, т. е.
определены следующим образом:
[А, В]+ = АВ + ВА. (14.48)
Первое и последнее симметризованные произведения дают, цри определенных
обстоятельствах, 1, в то время как остальные члены исчезают. Используя
дополнительное условие (14.43), получаем, наконец, соотношение
а+ах + axat = 1. (14.49)
Теперь покажем, что преобразование Боголюбова можно построить с помощью
некоторого унитарного преобразования. Эта связь, как мы увидим позже,
оказывается очень важной для установления полной эквивалентности поначалу
формально различных теорий сверхпроводимости Бардина, Купера и Шриффера и
Боголюбова.
3. Представление преобразования Боголюб о-в а с помощью унитарного
преобразования1). Аналогия со смещенным гармоническим осциллято-
*) Этот раздел требует несколько более глубокой подготовки, и при первом
чтении может быть опущен. • > ,
§ 14]
ОБ ОБРАЩЕНИИ С ФЕРМИ-ОПЕРАТОРАМИ
119
ром. Рассмотрим комбинацию вакуумного состояния Фо с функцией,
описывающей рождение двух частиц в состояниях (1) и (2):
| Ф-,(и1т;а;)Ф". ¦ (14.50)
Операторное выражение, стоящее перед Ф0, формально можно записать в виде
экспоненциальной функции, поскольку все степени выше первого порядка по
я+а+ исчезают:
СО + 0 +
Ф = Ne 1 " Ф0. (14.51)
Величины N и с определены здесь следующим образом:
| N = u, c - v/u. (14.52)
Введем для произведения пары операторов aj at сокращение <1i4 = Л+
(14.53)
п зададимся теперь вопросом, нельзя ли таким же способом, как и для бозе-
операторов (см. § 5), превратить оператор
NecA+ (14.54)
в унитарный оператор. Сделаем для этого в виде пробы подстановку
| Ф = МесЛ+Ф0 = есЛ+-еМФ0, А+ = at at, (14.55)
где стоящее в правой части уравнения (14.55) экспоненциальное выражение
должно быть искомым унитарным оператором. Как мы сейчас установим, этот
оператор действительно обладает свойством унитарности. Однако мы еще
не знаем, выполняется ли
в действительности соотношение (14.55). Поэтому исследуем раз-
ложение экспоненты
оо
U = eeA+~*-A= ^±-(сА+--с*А)п, (14.56)
п~0
широко используя перестановочные соотношения для ферми-операторов. С их
помощью^ сразу доказываются нижеследующие результаты:
[Л, Л+]_ = 1 -atax - ata2, (14.57)
Л2 = Л+2 = 0, (14.58)
А+АА+ = А+, _ (14.59а)
\_,jAAtA=A. :...........г.- - (14.596)
120 КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ [ГЛ. Ш
Исходя из (14.59а, б) и применяя метод математической индукции, легко
показать, что
(А+А)п = А+А ) (14.60а)
(АА+)п = АА+. )ДЛЯ ' (14.606)
Вычислим теперь степени (сЛ+ - с*А)п, обращая особое внимание на порядок
следования А+ и А. Ввиду (14.58) остаются только такие члены, в которых А
и А+ попеременно следуют друг за другом. При этом следует различать
случаи п четного и п нечетного:
а) п четное
"
{сА+ - с*А)п = (-1)F (А+АА+А.. .А+А \ с \п+ АА+,., АА+\с\п)'>
п раз п раз
(14.61а)
б) п нечетное
П-1
(сА+ - с*А)п= (- 1) 2 (А+АА+... АА+\ с Г1 с -
п раз
-АА+А ... f с I""1 с*). (14.616)
п раз
Выражения (14.61а, б) при учете (14.59а, б) и (14.60а, б) упрощаются:
П
(сА+ - с*А)п = (- 1)F | с |п (А+А + АА+) п четное, (14.62а)
П-1
(сА+ - с*А)п = (- 1) 2 | с |п-1 (сА+ - с* А) п нечетное.
(14.626)
Подставим (14.62а) и (14.626) в (14.56). Для различения четных и нечетных
п положим п = 2т или п = 2т. +1. Тогда получим
и =1 + 2 w Iс |2т (АА++А+А) +
ТП-1
+ 2(Ётт)|1'Г(с'4+-'*л)-
т=о
Операторные выражения не зависят от индекса суммирования, поэтому их
можно вынести за знаки сумм. Тогда оказывается,
ОБ ОБРАЩЕНИИ С ФЕРМИ-ОПЕРАТОРАМИ
121
что эти суммы по существу представляют собой разложения синуса и
косинуса. Следовательно,
и = 1 - (a ^ ^ Л+) sin I с I + (ЛЛ+ + Л+Л)
(cos\c\-i).
Вспомним теперь нашу исходную задачу. Мы хотели показать, что соотношение
(14.55) действительно имеет место, причем левая часть (14.55)
тождественна левой части (14.50). Подействуем теперь правой частью
(14.63) на Фо н учтем, что ввиду (14.57) (1 - (АА+ + Л+Л))Фо = 0 и что
с^Фо = 0. Отсюда полу-
В последующем изложении будем считать, что постоянная с действительна.
Тогда (14.65) и (14.66) можно заменить на
Обратимся теперь снова к аналогии со смещенным гармоническим
осциллятором. В § 6 было показано, что свойства операторов, действующих
