Квантовополевая теория твердого тела - Хакен Х.
Скачать (прямая ссылка):
взаимодействие, с помощью подстановки
i_m
ф(Ц = е п Ф(0). (16.21)
Разумеется, мы ничего не выигрываем, применив это формальное решение,
поскольку явное вычисление оператора, представленного в виде
экспоненциальной функции, в общем, сопряжено с
134
КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ
[ГЛ. III
большими трудностями. Тем не менее подход (16.21) приводит к новому
способу решения. Как нам известно из совершенно общих соображений, в
квантовой теории в конечном счете имеет значение лишь сравнение
измеренных величин со средними величинами, которые можно представить в
виде
<ФЫ|Ф>. (16.22)
Если в (16.22) подставить функцию (16.21), то, учитывая определение
среднего значения (16.22), получим выражение
\Ф(0)
-Ht ~^-Н1
ел Ае А
\
Ф(0)/. (16.23)
При этом действие множителя e~(-i/A)Hi перенесено на А. Выражение (16.23)
можно интерпретировать совершенно новым образом, а именно, что теперь
следует вычислить среднее значение нового оператора
4-Hi -4-Ht л
eh Ае п =А, (16.24)
относящегося к начальной волновой функции Ф(0). В представлении
Гейзенберга операторы зависят от времени, а функции состояния, напротив,
от времени не зависят.
Для дальнейшего учтем, что для А-Н уравнение (16.24) принимает вид
I 4-т -4-яг _
I еп Не п =# = #.
Поскольку начальные волновые функции конкретной физической проблемы
задаются заранее, то задача состоит в том, чтобы' найти поведение во
времени оператора (16.24). Продифференцировав А по времени, можно очень
легко найти уравнение, которому удовлетворяет оператор А. Тогда сразу
получаем
^1 = Д-(ЯП-2Я)^4-[Я, А]. (16.25)
Таким образом, уравнение (16.25) является уравнением движения операторов
в представлении Гейзенберга. Ради простоты мы предположили, что оператор
А явно от времени не зависит. Для вычисления коммутатора [Я, А] в явном
виде нам нужны перестановочные соотношения. Теперь мы покажем, что при
переходе от представления Шредингера к представлению Гейзенберга
перестановочные соотношения (для одного и того же момента времени)
остаются в силе, если повсюду сделать замену А -*¦ А, В-+В.
§ 16) ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ И ГЕЙЗЕНБЕРГА 135.
Для доказательства будем исходить из коммутатора
[А, 5] =С (16.26)
(Л, В, С - операторы). Умножим это выражение слева на е<г/П)Ш, а справа -
на e~i,/h)Ht. Тогда левая часть (16.26) примет вид
¦f-Ht -Ht
eh (AB - BA) e n ==
-7-111 -XI i -r-X2^ T-XII -Г-ТД I -fc *
h Ae h eh Be n - en Be h eh Ae h e=
= AB- BA~b[A,B\. (16.27)
Правая часть непосредственно переходит в С, так что имеет место равенство
[А, В] = С. (16.28)
Тот же результат справедлив, естественно, и для плюс-переста-новочных
соотношений.
Для пояснения уравнения (16.25) рассмотрим теперь конкретный пример.
Пример. Взаимодействие между колебаниями и электронами (см. § 15). В
качестве величины А мы выберем оператор Ъ+. В представлении Гейзенберга
этот оператор становится оператором Ь+, который, согласно (16.25),
удовлетворяет уравнению
Ь+ = 4-[(#о + ?вз),6,+]. (16.29)
Каким образом следует получить входящие в это уравнение
Н0
и Явз из #0 и Нвз, мы покажем на следующем примере:
Н0 =
=%(лЪ*Ъ.
Согласно (16.24) справедливо равенство
4-Ht -4-Hi
Нй - %о>е Ъ+Ъе л ,
которое обычным образом, вставив "1" между операторами b* и Ь, можно
преобразовать к виду
i-Ht -Ht А-т -4-nt
Нп = Тгозе Ъ+е h еп be п ,
ъ+
т. е. к виду Но = %(оЪ+Ъ.
Этот пример позволяет вывести следующее правило: переход от операторов
Но, Нвз к операторам . Н0, Н" осуществляется
136 КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ [ГЛ. III
с помощью следующих замен в операторах:
Ь 6, Ь+ -*¦ Ь+, а -*¦ а, а+ -*¦ а+.
Часть выражения (16.29), которая относится к оператору Н0:
(16.30)
можно легко вычислить, поскольку все операторы bw с различными w между
собой коммутируют.
Таким образом, при образовании коммутатора (16.30) из всего оператора Н0
нам нужно учесть только член суммы с w. Исходя из перестановочных бозе-
соотношений [bw, Ь^>] = 6W)W., для
(16.30) сразу находим
icDwb". (16.31)
Аналогичным образом можно поступить со второй частью выражения (16.29):
-НЯвз,Ь+]. (16.32)
л I в
Поскольку операторы bw между собой коммутируют, то с самого начала в
выражении (15.21) для Нвз все члены с Ъ? можно опустить. Поскольку, кроме
того, все операторы bw' при коммутируют с bw, от суммы (15.21) остается
один-един-ственный член с w. На основании перестановочных бозе-соотно-
шений и предыдущего рассуждения (16.32) переходит в следующее выражение:
* 2 l>w(r)k+w(r)w (16.33)
к
Если теперь собрать вместе (16.31) и (16.33), то вместо уравнения (16.29)
мы получим в явном виде уравнение движения для
операторов нашей задачи взаимодействия между электрона-
ми и колебаниями:
bw - i(Hypbw -)- i 2 ?Tw(r)k+w(r)k. (16.34)
к
Совершенно аналогичным образом получаются уравнения для операторов bw:
I Ъф = i(0I w(r)k ak+w (16.35)
I к
Эти уравнения чрезвычайно полезны потому, что они очень сильно напоминают
классические уравнения движения: если бы
§ 16]
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ И ГЕЙЗЕНБЕРГА
