Квантовополевая теория твердого тела - Хакен Х.
Скачать (прямая ссылка):
на возбужденные состояния, можно легко найти, если известно, как эти
операторы преобразуются при унитарном преобразовании. При этом речь идет
именно о тех унитарных преобразованиях, которые связывают старое
состояние с новым основным состоянием. Вычислим выражение
(UatU+) = U {(Л+ -A) at- at (Л+ - Л)} U+ = = - tj[A,at]U*. (14.71)
(14.63)
чаем
№\ = (cos| с | + - sin | с ( Л+j Ф0.
Сравнивая это выражение с левой частью (14.50): (и + нЛ+)Ф0,
(14.64)
сразу же получаем основополагающие соотношения cos| с )= и,
(14.65)
(14.66)
.-2-т sin I с I = V.
I с I I 1
cos с = и,
sm с = и.
(14.67)
(14.68)
(14.69)
(14.70)
122, ¦¦ КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ [ГЛ. III
Исходя из перестановочных соотношений, легко проверить, что справедливо
равенство
a%axat - аха2ах. = а2, . (14.72)
в результате чего (14.71) переходит в
- Ua2U+. (14.73)
Теперь мы должны, однако, вычислить еще (14.73). Соответственно
вышеизложенному получаем уравнение
(Ua.2U+) = U\A+, e2] 'U+ = UatU+. (14.74)
Если подставить (14.74) в (14.71) и учесть при этом (14.69), то получится
дифференциальное уравнение для /1 следующего вида:
/х + /х = 0. (14.75)
Учитывая начальные условия fx(0) = а+, f[ (Q) = - а.2, сразу получаем
решение вида
UaxU+ = fx - ах cos с - a2sinc. (14.76)
Поскольку cos с и sine связаны с и ж v соотношениями (14.67) и (14.68),
мы получаем, наконец, окончательный результат
| ах = Uax U+ - ахи - a2v. (14.77)
Тем самым одновременно определен новый оператор ах , который получен
преобразова! получается результат
получен преобразованием оператора аАналогичным образом
I а2 = Ua.2U = иа.2 + иах. (14.78)
Этот результат показывает, что преобразование Боголюбова действительно
Может быть генерировано унитарным преобразованием U (см. (14.70)). Как
уже было отмечено, это обстоятельство окажется чрезвычайно полезным в
теории сверхпроводимости.
Задания к § 14
Приложения смещенного фермиевского осциллятора:
а) Спин 1/2: в магнитном поле. Доложить
а+ = а+, а==а', а2 == -|-(а+а - аа+) (П14.1)
и показать, что справедливы следующие перестановочные соот-
§151
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ МЕЖДУ ПОЛЯМИ
123
ношения:
о+2 = о-2 - 0, а+а~ + сго+ = 1,
(Д14.2)
0+0~ - 0_0+ = 20г, 0±0г - 020~ = ^ о*.
Положим о± = о* ± ioy, а также s, - ti о,, j - x, у, z. Тогда полу* чаем
оператор спина s = (sx, sy, sz) для спина 1/2. С помощью (А 14.2)
показать, что Компоненты s удовлетворяют перестановочным соотношениям для
момента количества движения:
sxSy -- SySx ;=== ifiSz,
SySz SzSy - Z !x7
SZSX exSz blftSyw
Уравнение Шредингера для волновой функции if спина 1/2 в магнитном поле Н
имеет вид
;?-(Н,"И (А14.3)
Показать, что левая часть (А 14.3) эквивалентна (14.23), и определить Е0,
ч*, 4.
б) Двухуровневый атом во внешнем электрическом поле. Пусть имеется атом
только с двумя состояниями у - I, 2 и одним электроном. Положить в
уравнении (13.9) F(x) = Fo(x)H-+ Fs(x), где F0(x) - потенциальная энергия
электрона, а энергия Fs(x) вызвана внешним возмущением. Пусть <рй(х) в
(13.1, 1а) - решение уравнения Шредингера (13.16) с F(x) = = F0(x). Какой
вид имеет оператор Гамильтона с учетом энергии возмущения Fs(x), в
представлении вторичного квантования в операторах Положить а^ я* - я+,
я+я2 -я и показать,
что при соответствующем выборе постоянных получившееся таким образом
уравнение Шредингера согласуется с уравнением
(14.23).
§ 15. Взаимодействие между полями: электроны,
"танцующие на канате"
В § 12 мы уже видели на примере кулоновского взаимодействия, что поле
может взаимодействовать само с собой. Как в физике твердого тела, так и,
например, в ядерной физике часто приходится иметь дело с взаимодействием
между различными полями. Например, электроны в твердом теле
взаимодействуют с Колебаниями решетки или с квантованным Полем излучения.
Для того чтобы показать, как можно было бы рассматривать такого рода
взаимодействия, мы займемся сейчас одним весьма наглядным примером. Мы
рассмотрим струну ("канат"),* вдоль
124
КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ
[ГЛ. III
$(х, Ь)
которой могут перемещаться частицы (например, электроны), причем на
частицы действует поле силы тяжести. Воздействием силы тяжести на струну
мы пренебрежем. Таким образом, в нашей задаче речь идет в прямом смысле
слова; о "танцующих на
канате" электронах (рис. 24). Для проведения квантования связанной
системы мы используем уже хорошо знакомый нам путь:
а) построение уравнений движения;
б) построение функции Лагранжа, уравнения ЛагранЖа для которой вновь
приводят к уравнению движения;
в) переход к функции Гамильтона;
г) квантование;
д) разложение по собственным функциям.
а) Построение уравнений движения.
Уравнение колебаний неподверженной действию внешней силы струны имеет
следующий вид:
а)
V(wt?)=mgij(ay,t)
Рис. 24. Взаимодействие точечной массы со струной. а) Отклонение q(x, t)
струны как функция координаты в заданный момент времени, б) Потенциальная
энергия V(x, t) электрона (точечной массы) в точке х струны.
рq (х, t) s
9 q (x, t) Зж2
