Квантовополевая теория твердого тела - Хакен Х.
Скачать (прямая ссылка):
ровской теории многих частиц, типпчпыми для статистики Ферми - Дирака. Мы
никоим образом не предполагаем, что читатель знаком с упомянутой выше
теорией многих частиц, а ставим во главу угла (в известной степени
аксиоматически) соотношения (13.4-13.6) и вводим затем подходящие
свойства многочастичных волновых функций. Поскольку полевые операторы
ф(х) и ф+(х) связаны с операторами а" и a(1" через разложения
(13.1) и (13.1а), то перестановочные соотношения (13.4-13.6) имеют
своим следствием, естественно, перестановочные соотношения для ф и ф+ и
наоборот. Поскольку все вычисления аналогичны приведенным выше, мы
опустим их точное воспроизведение, а интересующегося читателя отсылаем к
заданию 1.
106
КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ
[ГЛ. III
Обсуждаемые сейчас перестановочные соотношения между ф и ф+ имеют,
следующий вид:
[ф+(х), ф(х')] + = г|5+ (х)гр(х') + гр(х')ф+(х) = б(х - х'),
[ф+(х), ф1+(хг)]+ = фч"(x)'фч"(x,) + ф+(х')ф+(х) = 0, (13.8)
tф(х), ф(х')] + = ф(х)ф(х') + ф(х')ф(х) = 0.
Частицы, операторы рождения п уничтожения которых удовлетворяют
перестановочным соотношениям (13.4-13.6) или
(13.8), называются ферми-частицами (фермионами). Сравнение этих
перестановочных соотношений с перестановочными соотношениями для
ооновского ноля показывает, что всюду, где раньше стоял знак минус,
теперь стоит знак плюс. Кроме этого обстоятельства, весь формализм
предыдущих параграфов полностью остается в силе. Оператор Гамильтона
вновь дается выражением (12.21) и принимает следующий вид:
Я
I Ф+(х){-^А-ГК(х)|ф(х)с/3ЖЕ= УЕ^а+а^. (13.9)
Соответствующее уравнение Шредингера для квантованного состояния имеет
вид
НФ=ЕФ. (13.9а)
Собственные функции (состояния) и собственные энергии для
(13.9) находят точно так же, как в бозевском случае в § 12.
Мы постулируем существование основного состояния Фо, обладающего
следующим свойством:
| "цФо = 0 для всех ц, (13.10)
1-2 3 4 5 3 //j- а в качестве функции состояния
Рис. 22. Пример функции состоя- получаем
ния Ф<"> при {а} = {1, 0, 0, 1, 1, ф{)!> _ П(яп) (13.11)
0, 1, 0, 0, ...}. I р ' '
Здесь мы формально полагаем (ир)° = 1 и учитываем ввиду (aj)2=0, что
показатели п могут принимать значения только 0 или 1. На рис. 22
представлен пример для (и). Здесь
Ы = {1, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, ...}.
Энергия Е дается следующим выражением:
I я
§ 131
ФЕРМИОНЫ
107
где ntl = 0 или 1. Полное число частиц ,равно
N = 2 "ц.
(13.12а)
В нашем примере, следовательно, имеются четыре частицы.
Если полное заданное число частиц равно N, то, следовательно, только iV
чисел заполнения н(, = 1. Поэтому наряду с (13.11) применяется еще одно
очевидное представление, в котором с самого начала учитывают только н" =
1:
ПрИ ЭТОМ МЫ УСЛОВИМСЯ, ЧТО Hi < Ца < • • • <
В приведенном на рис. 22 примере имеем pi = 1, ц2 = 4, р3 - = 5, Ц4 = 7.
Познакомимся теперь с этим формализмом несколько обстоятельнее. Для этого
рассмотрим наиболее общее одночастич-иое состояние. Такое состояние
задается суперпозицией одночастичных состояний а^Ф0:
причем постоянные коэффициенты с," с точностью до условия
ными. Мы сможем перейти к другому представлению состояния Ф, если введем
вместо операторов рождения а^ операторы я|)+(х). Для этого умножим
(13.1а) на ср^' (х) н проинтегрируем по объему. Тогда получим, учитывая
ортогональность и нормировку функций ф," по которым ведется разложение,
представление операторов через i|;+(x):
Ях)
Сумма по р представляет собой, как показано фигурной скобкой, некоторую
функцию /Сх), так что мы можем переписать Ф в виде
Как мы покажем сейчас, функция fix) удовлетворяет обычному одночастичному
уравнению Шредингера. Выражение (13.16) можно интерпретировать следующим
образом. Ниже мы увидим, что оператор г|)+(х) создает в точке х одну
частицу. Следователь-
Фщ> -- • • • ящуФо-
(13.11а)
Ф Цс^Фо,
Ь|Х"Я1'10,
(13.13)
нормировки 2|с|л12'~1> являются еще совершенно производи а
(13.14)
Если подставить (13.14) в (13.13), то получим
(13.15)
(13.16)
108
КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ
[ГЛ. III
но, Ф представляет наложение одночастичных состояний, которые можно
представлять себе возникающими в различных точках пространства, каждое со
своей "амплитудой вероятности" fix). Теперь покажем, что ф+(х')
действительно создает одну частицу в точке х', т. е. что
ф+(х')Ф0 (13.17)
представляет частицу в точке х'. Для доказательства подействуем на
(13.17) оператором плотности числа частиц р(х) = ф+(х)ф(х). Тогда с
учетом применения перестановочных соотношений (13.8) и того
обстоятельства, что действие if на вакуумное состояние дает нуль, мы
получим следующие соотношения:
ф+(х)ф(х)ф+(х')Фо = ф+(х)6(х - х')ф0 =
(13.18)
= 5(х - х')ф+(х')Ф0.
Эти соотношения утверждают, что функции (13.17) являются собственными
функциями оператора плотности числа частиц, причем собственное значение =
0, если координата х' не совпадает с координатой х, и собственное
значение = 1 при интегрировании в окрестности точки х = х'.
Подставим теперь общие одиочастичные функции (13.16) во вторично
