Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Хакен Х. -> "Квантовополевая теория твердого тела" -> 39

Квантовополевая теория твердого тела - Хакен Х.

Хакен Х. Квантовополевая теория твердого тела — М.: Наука, 1980. — 344 c.
Скачать (прямая ссылка): kvantovayateoriyatverdogotela1980.djvu
Предыдущая << 1 .. 33 34 35 36 37 38 < 39 > 40 41 42 43 44 45 .. 118 >> Следующая

получаем конечный результат
. Аналогия с бозе-операторами будет существенно более близкой, если в
показателе степени экспоненты стоит произведение а+а. Если разложить
экспоненциальную функцию
уничтожения все время чередуются, так что правила (14.4) и
е-аа+аеаа+ Lz_ д
(14.9)
а = (1 - аа+)а(1 + а а+).
(14.10)
а = а - а2а+ + а (аа+ - а+а).
(14.11)
(14.12)
(14.13)
а+ - а+ - а?а - 2а s.
(14.14)
е
аа+а
(14.15)
в ряд по степеням то окажется, что (операторы рождения и
§14] ОБ ОБРАЩЕНИИ С ФЕРМП-ОПЕРАТОРЛМИ 115
(14.5) более неприменимы. Рассмотрим теперь, что означает
преобразование ')
о = / (") = е+аа+а ае~аа+а. (14.16)
Для этого продифференцируем функцию /(а) по а, что дает
f (а) = е+аа+а (а+аа - аа+а) е~"а+а. (14.17)
Первый член суммы в скобках ввиду (14.3) исчезает. Ко второму члену
применим перестановочное соотношение (14.1), в результате чего выпадает
еще одно произведение операторов
f(а) = е"а+а (- а) е'"а+а - / (а). (14.18)
Отсюда получаем дифференциальное уравнение для /:
f'(a) = - /(а), (14.19)
решением которого является
/(а)=е-"а, (14.20)
причем мы приняли во внимание начальное условие /(0) - а. Отсюда
окончательно получаем следующее соотношение:
I ~___"аа+а -аа+а -а ,л, rw\
| а=з е ае . = е а. (14.21)
Совершенно аналогичным образом получаем
| д+ == еаа+аа+е~аа+а = еаа+. (14.22)
В последующем изложении соотношения (14.21) и (14.22) будут нам часто
необходимы.
б) Смещенный ферми-осциллятор. Рассмотрим уравнение Шредингера так
называемого смещенного ферми-осциллятора, которое формально имеет тот же
вид, что и уравнение смещенного гармонического осциллятора:
Е0 -j- (а+а - аа+) -j- у*а+ -j- уа|ф = ЕФ. (14.23)
1
Мы заменили лишь при этом выражение Е0а+а на Е0 -^-{а+а - аа+), что, как
легко увидеть с помощью перестановочных соотношений
(14.1), сводится лишь к сдвигу нуля энергии на величину-g-JS,.
¦) В этом преобразовании оператор еаа ° , вообще говоря, унитарный, если
а - чисто мнимое число. В этом' случае (а) + =а+.
8*
116 КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ [ГЛ. III
Однако эта замена приводит к весьма симметричному рассмотрению проблемы.
Для решения (14.23) возьмем волновую функцию Ф в виде полной комбинации
волновых функций основного и возбужденного состояний:
\ Ф == соФо "Ь сщ+Фо- (14.24)
Если подставить (14.24) в (14.23), то мы получим с учетом соотношений
(14.1) и (14.3) и того обстоятельства, что Фо является основным
состоянием и обладает свойством аФо= 0, следующее уравнение:
Е0-j- (cLa+Ф, - с0Ф0) + у*с0а+Ф0 + Тс1фо = Е (г"Ф0 + сха+Фа).
(14.25)
Поскольку волновые функции основного и возбужденного состояний
ортогональны, т. е. справедливы соотношения
<а+Ф0|Фо> - 0, <Ф01а+Ф0> = 0, (14.26)
то уравнение (14.25) должно выполняться отдельно для коэффициентов при Ф0
и а+Фо. Это условие приводит к двум однородным уравнениям относительно со
и щ:
^ 2~ Еа ? j са усх = 0, у*с0 ?0 ? j
сх = 0.
(14.27)
Условие разрешимости, т. е. условие обращения в нуль детерминанта этой
системы, приводит непосредственно к соотношению
| ?= ± l^(^-)2 + |v|2- (14.28)
Отношение коэффициентов дается следующими выражениями:
~ = iE° ± К^оа + 4Ы"}, = ± (-?0± |/ ?02+4|уР},
(14.29)
в) Много ферми-операторов.
1. Линейные преобразования. Рассмотрим набор ферми-операторов,
удовлетворяющих перестановочным соотношениям
ак4+ak'ah = 8kk'> (14-30)
ahah' +ak-ak = 0' (14.31)
44 + 44 = 0- (14-32)
§ 14]
ОБ ОБРАЩЕНИИ С ФЕРМИ-ОПЕРАТОРАМИ
117
Составим линейную комбинацию следующего вида:
А) - 2 cjhah' k
(14.33)
(14.34)
k
причем считается, что матрица коэффициентов с1к унитарна. Мы утверждаем.
что тогда имеют место следующие соотношения:
а также сопряженное (14.35) соотношение. Если подставить в (14.35)
выражения (14.33), то мы непосредственно получим
Выражения в скобках согласно (14.31) исчезают, что и доказывает
справедливость соотношения (14.35). Для доказательства (14.36) заменим
вновь операторы А и А+ согласно (14.33) и (14.34) на операторы ак к Ввиду
выполнения соотношения (14.30), левая часть сразу же принимает вид суммы
по произведениям коэффициентов с для одинаковых к. На основании
предполагаемой унитарности матрицы с (т. е. c*k = (c~1)f{.= (c+)ft^
непосредственно можно написать, что
который, в общем, имеет недиагональный вид, можно сразу представить в
диагональном виде
причем rtij являются действительными собственными значениями матрицы
Mkh,, которая по предположению эрмитова.
2. Преобразование Боголюбова. До сих пор нами рассматривались только
комбинации операторов рождения или уничтожения. Преобразование Боголюбова
исследует смешанное преобразование. Рассмотрим две пары операторов аи а+
и а2, а+. Преобразование Боголюбова определяется тогда соотношениями
"at = а\и - a2v, ах = аги* - a$v*, (14.41)
(14.35)
(14.36)
2 cjk°i'k' {ahah' + ak,ah) = 0.
(14.37)
(14.38)
k
С помощью этого преобразования оператор Гамильтона
(14.39)
(14.40)
5
а2 = atV + ai = alV* + atU*
(14.42)
118
КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ
[гл. in
с дополнительными условиями
Предыдущая << 1 .. 33 34 35 36 37 38 < 39 > 40 41 42 43 44 45 .. 118 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed