Квантовополевая теория твердого тела - Хакен Х.
Скачать (прямая ссылка):
квантованное уравнение Шредингера (13.9а), причем выберем Я в пригодном
для фермионов виде (12.7). Тогда ф+ и ф являются, естественно,
операторами, которые подчиняются плюс-перестановочным соотношениям.
Составим в левой части уравнения Шредингера (13.9а) выражение
ЯФ = j ф+ (х) Ах + F (х)) ф (х) dsx j/ (х') ф+ (х') (Рх'Ф9.
(13.19)
Это выражение при использовании перестановочного соотношения (13.8)
переходит в
ЯФ = JJ / (х') {ф+ (х) (- t- Дх + F (х))б (х - х') ^'Ф0}.
(13.20)
Учитывая равенство Дх8(х - х') = Ах<6(х - х') и свойства
8-функции, вместо (13.20) получаем
ЯФ=^+(х)Фв(-^Д + У(х))/(*)<*"*. (13.21)
Поскольку согласно уравнению Шредингера должно иметь место
Фермйошл
109
равенство НФ - Еф, то мы приходим к утверждению, что (13.21) должно
совпадать с выражением
Е j / (х) i|j+ (х) Ф0 dsx. (13.22)
Но так как это соотношение должно выполняться для всех Точек х, а функции
ф+(х)Фо линейно независимы (см. задание 2), то соотношение (13.21 ) = (
13.22) может выполняться только тогда, когда оно уже выполняется для
отдельных множителей при ф+(х)Фо, т. е., следовательно, если /(х)
удовлетворяет обычному уравнению Шредингера
(~?Д + 'Н*))/(х) ^Ef(x). (13.23)
Соответствующее доказательство можно провести также и для зависящего от
времени уравнения Шредингера. Этот пример показывает, что в случае одной
частицы формулировки обычной теории Шредингера и теории вторичного
квантования идентичны. Теперь мы покажем на примере двух частиц, что и в
случае многих частиц существует эквивалентность между формулировкой в
рамках вторичного квантования и обычной многочастичной теорией
Шредингера. Следует, однако, совершенно определенно указать на то, что
формулировка в рамках вторичного квантования обладает рядом существенных
преимуществ и прежде всего потому, что она является адекватной для
рассмотрения многих процессов. Рассмотрим теперь наиболее общее состояние
двух частиц, которое строится как наложение всех состояний, в которых
одна частица находится в состоянии р1; другая - в состоянии рг:
Ф = 2 ^1М,2"ф0- (13-24)
Заменяя в этом выражении операторы а? на ф+, согласно (13.14), получаем
вместо (13.24):
Ф = f (7 2
И- jM 2
Фщ (х) Фв2 (х/) (х) Ф+ (х') фо d*x d*x'-
/(х,х')
(13.25)
Сумма по p,j и Ц2 представляет обычную функцию координат х и х', которую
мы кратко обозначили fix, х'), так что Ф можно представить в виде
Ф = Jj* / (х, х') ф+ (х) (х') Ф0 d3x d3x'. (13.26)
Мы покажем, что функция fix, х') антисимметрична относитель-
НО
КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ
[ГЛ. III
но координат х и х'. Для этого изменим в (13.26) обозначения крординат,
поменяв хнх' местами, тогда (13.26) переходит в выражение
J* j* / (х', х) ф+ (х') ф+ (х) Ф0 dsx d3x'. (13.27)
Сравнение этого выражения с (13.26) показывает, что порядок следования
операторов теперь изменился. Чтобы получить тот же порядок следования
операторов, что и в (13.26), мы переставим оба оператора ф+, причем ввиду
перестановочного соотношения (13.8) поменяется знак, так что (13.27)
принимает следующий вид:
- JJ/ (х', х) ф+ (х) ф+ (х') Ф0 d3xd3x'. (13.28)
После всех этих преобразований выражение (13.26), естественно, не
изменилось, так что мы получаем общее соотношение: выражение (13.26)
равно выражению (13.28). Однако под интегралами в этих выражениях стоят
функции ф+(х)ф+(х')Фо, которые линейно независимы друг от друга. Поэтому
соотношение (13.26) = = (13.28) может быть выполнено только в том случае,
если выполняется условие
/(х, х'). = -/(х', х). (13.29)
Это условие и показывает, что волновые функции / антисимметричны. С
помощью волновых функций (13.26) мояшо вновь прийти к уравнению
Шредингера в представлении вторичного квантования. Для дальнейшего
обсуждения нашего примера двух частиц мы выберем оператор Гамильтона
уравнения Шредингера в следующем виде:
# = JV (х) (- АХ + У (*)) Ф (х) <Рх +
+ Y jj Ф+ (х) Ф+ (х') ф (X') ф (X) d3x d3x'. (13.30)
В первом интеграле мы сразу узнаем обычное средпее зпачение
шредингеровской теории для кинетической энергии л энергии в некотором
заданном потенциальном поле. Двойной интеграл представляет, очевидно,
энергию кулоновского взаимодействия.
Мы не будем проводить подробно решение, получающееся после подстановки
(13.26) во вторично квантованное уравнение Шредингера, а отошлем
интересующегося читателя к соответствующему упражнению. Здесь мы
ограничимся тем, что приведем окончательный результат. Этот результат
утверждает, что функ-
ФЕРМИОНЫ
111
цпя f(xu х2) удовлетворяет следующему уравнению Шредингера для двух
частиц:
Обобщение этого результата па случай п частиц легко угадать, однако его
можно также провести строго в рамках формализма вторичного квантования.
Для случая п частиц получается уравнение Шредингера следующего вида:
причем / антисимметрична относительно всех координат.
Приведенные выше соображения позволяют нам сформулировать- с помощью
вторичного квантования многоэлектронную проблему твердого тела (см. §
20).
Этот параграф мы закончим правилами
