Квантовополевая теория твердого тела - Хакен Х.
Скачать (прямая ссылка):
трудность'. В классической теории волновые функ-
§ 1-2]
БОЗОНЫ
103
цпи коммутируют, т. е. точный порядок следования этих функций
безразличен. В квантовой теории, однако, волновые функции, напротив, не
коммутируют, а удовлетворяют перестановочным соотношениям (12.15).
Поэтому в зависимости от того, в каком порядке расположить операторы ф и
ф+, получаются разные результаты. При выборе порядка расположения
операторов выражения (12.41) в квантовой теории мы будем
руководствоваться тем, что если имеется только одна частица, то
кулоновское взаимодействие равно нулю. Отсюда следует, что мы должны
писать оператор уничтожения ф справа, а оператор рождения ф+ слева. Кроме
того, аргументы х и х' следует писать в том порядке, в котором они стоят
в выражении (12.42), с тем чтобы при образовании среднего значения мы
могли вернуться назад к обычной энергии взаимодействия в уравнении
Шредингера. Ввиду весьма близкого к предыдущим рассуждениям изложения
этой задачи, мы отсылаем читателя к упражнениям.
Учитывая эта ограничения, энергии кулоновспого взаимодействия (12.4J)
следует поставить в соответствие следующий оператор:
4- J (х) (хл> ^ <х/> ^ ^<12-42)
Среднее значение тогда определяется выражением
\ф
4- i ф+ (х) н:+ (х>) j ^ ^ d3x d3x' ф/- (12-43)
Задания к § 12
1. Разрешить (12.11) и (12.12) относительно Ьц и 6^, Указание к (12.11).
Умножить обе части (12.11) на ф^- (х)
и проинтегрировать но пространству. Ввиду ортогональности волновых
функций j ffv (х) фц (х) dzx - б^щ сразу же получается • выражение для
Ь^.
2. Еще одно новое представление 6-функции: 6 (х - хг) =
= 2ф?(х')фц(х).
м-
Положить 6 (х - х') = 2 с!хФв (х)' причем суммирование ведется
в
по полному набору собственных функций, и показать, что -
= "pZ(*').
Указание. Как к заданию 1.
3. Вычислить среднее значение оператора координаты (12.35) для
двухчастичного состояния Ф = 5и,5в>Ф0.
104
КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ
[ГЛ. III
4. Вычислить среднее значение кулоновского взаимодействия
(12.43) для Ф = Ь+Ф0 и Ф = 6+ Ь+ф".
Указание. Подставить разложения (12.11) и (12.12) в
(12.43), учитывая, что &¦" и теперь операторы.
§ 13. Квантование шредингеровских волновых полей, подчиняющихся
статистике Ферми - Дирака. Фермионы
Как мы видели в предыдущих параграфах, шродингеровскоо волновое поле
может быть квантовано совершенно аналогично волновому полю, описывающему,
например, колебания решетки, причем вновь проявляется корпускулярный
характер поля. Правда, мы обнаружили, что каждое состояние может быть
занято многими частицами. Чтобы исключить эту возможность в статистике
Ферми - Дирака, нам следует изменить перестановочные соотношения. Для
этого вновь будем исходить из разложения волновых функций ф(х) и ф+(х) в
виде (12.11) и (12.12). Эти разложения представим в виде
ф(х) = 2<VPn(x)' (13.1)
И
ф+(х) = 2"яФя(х). (13.1а)
я
Здесь ф"(х) и фц(х) должны быть собственными волновыми функциями
уравнения Шредингера в представлении первичного квантования:
("АгА + 7(х))фв(х) = ?цфв(х). (13.16)
При этом коэффициенты разложения ("амплитуды") мы обозначили не через Ь,
как раньше, а через а, чтобы подчеркнуть, что последние как операторы
удовлетворяют перестановочным соотношениям нового типа, обсуждением
которых мы теперь займемся. Для этого предположим, что имеется вакуумной
состояние Фо, а вновь имеет смысл оператора рождения. Тогда формально
можно создать две частицы в одном и том же состоянии р, для чего образуем
выражение Ф0- Поскольку, однако, в природе такое состояние не может быть
реализовано, потребуем, чтобы
Ф0 = 0. (13.2)
Это требование должно выполняться не только для вакуумного состояния Фо,
но и для любого состояние Ф. Но если соотношение вида (13.2) выполняется
для всех Ф, то отсюда следует, что
S 13]
ФЕРМИОНЫ
105
в квантовой теории
~ (13.3)
Теперь сформулируем перестановочное соотношение между и at, которое
содержит условие (13.3) в качестве частного случая.
Перестановочное соотношение такого рода можно представить
следующим образом:
at,at + atat = 0. (13.4)
Решающим моментом в этих перестановочных соотношениях по сравнению с
бозевскими перестановочными соотношениями является замена знака "минус"
на знак "плюс". Теперь кажется естественным везде заменить знак минус на
плюс, т. е. ввести в качестве перестановочных соотношений для ферми-
частиц следующие перестановочные соотношения:
a^at + afat =¦¦ 0, (13.4)
at,av -р avat - 6p,v, (13.о)
а\\,йу -J- 0. (13.6)
Эти "плюс"-перестановочные соотношения в последующем изложении мы кратко
обозначим следующим образом:
1А, В\+=АВ + ВА. (13.7)
Хотя на основании высказанных выше соображений одновременное введение
знака плюс везде, где до этого стоял минус, кажется удовлетворительным,
это не является, однако, достаточным обоснованием для квантования поля.
Мы увидим, что эти новые перестановочные соотношения ведут к
антисимметричным волновым функциям в координатном пространстве. Эти
антисимметричные волновые функции являются, как известно из шрединге-
