Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Хакен Х. -> "Квантовополевая теория твердого тела" -> 30

Квантовополевая теория твердого тела - Хакен Х.

Хакен Х. Квантовополевая теория твердого тела — М.: Наука, 1980. — 344 c.
Скачать (прямая ссылка): kvantovayateoriyatverdogotela1980.djvu
Предыдущая << 1 .. 24 25 26 27 28 29 < 30 > 31 32 33 34 35 36 .. 118 >> Следующая

(соответствующие промежуточные вычисления можно найти в конце этого
параграфа):
Переходя теперь к канонически сопряженным импульсам, следует учесть, что
теперь у нас есть три компоненты вектора А и соответственно этому три
набора канонически сопряженных импульсов, которые с учетом правила (11.6)
и функции Лагранжа
(11.32) даются следующими выражениями:
Совершенно аналогично предыдущему рассмотрению, можно вновь разложить А
по плоским волнам, вводя одновременно наши уже хорошо известные
безразмерные амплитуды Ъ и Ъ+. Поскольку А является вектором, при
разложении по плоским волнам наряду с волновым вектором w следует ввести
еще один индекс / для вектора поляризации е, который может принимать
значения 1 или 2. Вектор поляризации мы обозначим ew, Учитывая, что
плотность массы теперь формально должна быть заменена на 1/(4яс2),
получаем разложение следующего вида:
Поскольку мы находимся еще в "классической области", bwi и являются еще
обычными классическими, зависящими от времени функциями. Однако, пмея^в
виду последующее квантование, у комплексно сопряженной с Ь величины мы
поставили
• 2
и = Ш [7" *х + 8Г j (rot А)2 d*x-
(11.34)
"",(*) 4 i2^(x)'
пг/ (x) = .-|Л(Х). П,(х) =-i-giz(x).
(11.36)
(11.37)
S 11] ТРЕХМЕРНЫЕ ПРОБЛЕМЫ. ФОТОНЫ 89
значок (+) вместо (*). Ввиду поперечности А справедливо соотношение
I eWfjw = 0, /' = 1, 2. (11.38)
Далее можно принять, что направления поляризации взаимно перпендикулярны,
т. е. имеет место соотношение
ew,iew,2 = 0. (11.39)
Для канонически сопряженных импульсов, совершенно аналогично скалярному
полю, получаем разложение
П(х,0 =^А_
Г hisy
1А\/
ЛИГ. 1 •
р .JLvwxa . J_ е ¦_J-e-iwxb+ l
WfJ . 2.4лса I ew'>yf b^ + e^yye °^y
(ll.40)
После этой подготовки можно обратиться к квантованию поля. Для отдельных
компонент вектора, по аналогии со скалярным полем, можно принять, что
коммутаторы между полями и канонически сопряженными импульсами исчезают:
[At(x),^(x')] = 0, (И-41)
[П,(х),П/(х')] = 0, (11.42)
i = X, у, 2, у = X, у, 2.
Единственное обобщение теперь состоит в том, что мы требуем выполнения
этих соотношений также для отдельных г- и /-компонент. Обратимся теперь к
вопросу о том, как выглядят перестановочные соотношения между компонентой
I канонически сопряженного импульса П и компонентой / амплитуды поля А.
Для этого введем, и это следует настоятельно подчеркнуть, в виде пробы
следующее перестановочное соотношение:
[П; (х), Aj (х')] = Л- bifo (х - х'). ' (11.43)
Проверим теперь, увязывается ли перестановочное соотношение
(11.43) с равенством "дивергенции поля нулю", т. е. с условием (11.26).
Для этого дифференцируем левую часть уравнения
(11.43) по Xj, суммируем по / и. сразу находим в силу (11.26), что
divx' [Пг (х), А(х')]== [П,(х), divx'A(х')] =0. (11.44)
90 КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ [ГЛ. XXX
Применяя операцию дивергенции к правой части уравнения
(11.43), получаем
з
2 Т~> 8'з8 (х ~ х') = S (х - х') 0, (11.45)
3 = 1 дхз dxi
г. е. отличное от нуля выражение, что противоречит (11.44). Поэтому мы
вынуждены изменить перестановочные соотношения
(11.43). Для этого рассмотрим дивергенцию выражения
6(j6 (х - х') = -Lf Г d3w giw(x~x') S;j (11.46)
J
более обстоятельно, для чего образуем выражение з
>I 4 М (*-*') = -Lg- f d3w(-iwi) ein(x~x'\ (Ц.47)
,*= i Cfxj (2л) J
Теперь спрашивается, как следует изменить 6-функцию, чтобы достичь
равенства нулю дивергенции от правой части (11.43). Поскольку наряду с
имеется лишь единственный другой тензор второго ранга idtwh то 8цб(х -
х') можно изменить следующим образом:
FU (х - х') = JL- j (6tj - wtwjf (w)). (11.48)
\
Для отыскания стоящей здесь еще неопределенной функции /, которая зависит
только от переменной w, построим дивергенцию Fij(x-x'). Эта дивергенция
приводит пас к соотношению з
2 (*-*') =
• 1 Ох,
з=1 3
1
(2л)3
Г d3wetv><-x %,) ( - iwi + iivi (wl + w\ -f- wf) f(w)). (11.49)
Для того чтобы правая часть исчезла, достаточно, очевидно, выбрать /(w) в
виде
/И =4- ' (11.50)
W
Это приводит нас к заключению, что изменение правой части ,
перестановочного соотношения (11.43) должно состоять в замене 8ц8(х - х')
на так Называемую поперечную Ь-функциц)
б? (X - X') = ^ j ^j. (11.51)
ТРЕХМЕРНЫЕ ПРОБЛЕМЫ. ФОТОНЫ
\
91
Интеграл (11.51) легко вычисляется, если выразить wt и ws через
производные экспоненциальной функции по xs и xt. Тогда
(11.51) можно представить в виде
Стоящий в скобках интеграл вычисляется просто и равеп
Вводя, наконец, полученное выражение (11.52) с учетом (11.53) в правую
часть (11.43), получаем перестановочное соотношение 'между канонически
соиряжепным импульсом П и полем А в окончательном виде
Однако при установлении перестановочных соотношений подобного рода (если
уж указывать, какие принципы лежат в их основе) нужно иметь полную
ясность относительно того, что введению их сопутствует некоторый
эвристический элемент. Являются ли перестановочные соотношения верными
или нет, можно установить в конце концов только при экспериментальной
Предыдущая << 1 .. 24 25 26 27 28 29 < 30 > 31 32 33 34 35 36 .. 118 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed