Квантовополевая теория твердого тела - Хакен Х.
Скачать (прямая ссылка):
волнового уравнения. Поскольку теперь место волнового уравнения занимает
уравнение Шредингера, имеет смысл попробовать использовать решения
уравнения
в качестве функций, по которым производится разложение. Эти функции мы
запишем в виде
Причем считается, что потенциал V не зависит от времени. Разложим теперь
волновую функцию if(x) по этим собственным функциям |ф". Введем временной
множитель из (12.9) сразу в коэффициенты разложения
тогда разложения волновых функций if и if* принимают следующий вид:
Здесь проявляется существенное различие по сравнению с волновым
уравнением, которое содержит вторую производную по времени. Присутствие
второй производной по времени ведет к тому, что наряду с решением еш
имеется решение е~гш\ чем мы воспользовались для конструирования
действительной амплитуды. В данном случае мы, имеем дело с
дифференциальным уравнением, содержащим лишь первую производную по
времени, так что мы не можем больше представить if как действительную
функцию, суммируя комплексно сопряженные решения. Поэтому
7 х. Хакен
(12.8)
Ti ^
ifn = е фц (х).
(12.9)
M0 = M0)*"ftV
(12.10)
if (х) = 2 VPn(x),
(12.11)
If* (X) = 2 ь+ф* (х).
(12.12)
98
КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ
[ГЛ. III
следует написать разложения (12.11) и (12.12) для комплексно сопряженных
величин. То обстоятельство, что if и if* являются независимыми
переменными, имеет, с другой стороны, важное значение для последующей
формулировки перестановочного соотношение (12.15), так как если,
например, if и if* совпадают, то соотношение (12.15) становится
противоречивым. Поэтому мы будем в дальнейшем считать, что if и if*
являются независимыми друг от друга переменными.
Вновь воспользуемся свойствами нормированное(tm) и взаимной ортогональности
собственных функций ср,,. Если подставить теперь разложения (12.11) и
(12.12) в функцию Гамильтона
(12.7), то непосредственно получим выражение
Исходя из практических соображений, а также для того, чтобы особенно ясно
представить аналогию с полученными выше результатами, в последующем
изложении мы будем часто полагать
причем ем имеет размерность частоты.
До сих пор мы рассматривали теорию, основываясь на том соображении, что
if представляет классическое поле. Теперь же для того, чтобы выполнить
нашу программу до конца, мы должны проквантовать это волновое поле if.
б) Квантование. Для квантования введем еще, согласно определению
(12.5), канонически сопряженный импульс л, причем правая часть возникает
в результате применения явного вида выражения (12.3). Потребуем
выполнения между л и if обычного перестановочного соотношения
Используя явный вид л, представим (12.14) в окончательном виде
Равным образом примем, что волновые функции между собой и канонически
сопряженные импульсы мен;ду собой коммутируют, что мы сформулируем с
помощью нижеследующих перестановочных соотношений:
(12.13)
(12.13а)
|п(х), if(x')] = -^б(х-х').
(12.14)
| [if(х'), if+(x)] = 6(х - х').
(12.15)
[if(x), if(x')] ==0
(12.16)
и
4
| [if+(x), if+(x')] = 0.
(12.17)
§ 12]
БОЗОНЫ
99
Теперь можно. непосредственно перейти вновь от перестановочных
соотношений (12.15), (12.16) и (12.17) к перестановочным соотношениям для
амплитуд Ъй и . Для этого подставим в
(12.15), (12.16) и (12.17) разложения (12.11) и (12.12) и разрешим
полученные выражения относительно операторов Ъ. Поскольку все это
происходит совершенно аналогично изложенному в § 8, мы отсылаем читателя
к упражнению 1 в конце этого параграфа и приводим сразу окончательный
результат. Мы находим, что перестановочные соотношения для операторов Ъ и
Ъ+ имеют сле-
дующий вид:
K>6v] = ^v> (12.18)
[Ьц, Ьу] = 0, (12.19)
[ь+, Ь+]=0. (12.20)
Поскольку мы подчинили амплитуды Ь+ и Ъ перестановочным соотношениям
(12.18-12.20), то классическая функция Гамильтона
(12.13) становится оператором Гамильтона и соответственно, ввиду
выполнения (12.15-12.17), оператором Гамильтона становится также и
(12.7).
Если рассмотреть этот оператор одновременно с перестановочными
соотношениями (12.18-12.20), мы обнаружим полную аналогию рассматриваемой
здесь проблемы с проблемой, возникшей при кваптованпп обычного волнового
уравнения, например, в § 10. Поэтому можно воспользоваться всеми
полученными нами ранее результатами. Мы находим, что уравнению
Шредингера1)
НФ =ЕФ,
# = jV (х) {- A + V (х)} ф (х) <***= 2 (12.21)
соответствуют состояния вида
Ф = Пг?Ц(АГУУФо. (12.22)
в у V
Вакуумное состояние Фо вновь определяется следующим образом:
| Фо = 0 для всех ц. (12.23)
') Так же и здесь следует указать, что выражение "уравнение Шредий-гера"
употребляется в совершенно различных смыслах:
а) в смысле первичного квантования (см. (12.1)); в этом случае
соответствующий оператор Гамильтона действует на функцию координат ф(х);
б) в смысле вторичного квантования (см. выше); в этом случае
соответствующий оператор Гамильтона действует на функцию состояния
абстрактным образом через операторы рождения и уничтожения,
7*
