Квантовополевая теория твердого тела - Хакен Х.
Скачать (прямая ссылка):
проверке выведенных на их основе положений. Мы сейчас увидим, что
перестановочные соотношения действительно прямо приводят к описанию
электромагнитного поля с помощью обычных операторов рождения и
уничтожения квантов света. Чтобы показать это, вновь подставим, точно так
же как и в случае скалярного поля, разложения (11.37) и (11.40) в левую
часть (11.54) п после выполнения преобразования Фурье получим
перестановочные соотношения для операторов рождения и уничтожения 6W>it
b%j. Вычисления проводятся в принципе так же, как и в дискретном случае §
8, так что мы эти несколько скучные вычисления, которые не ведут ни к
каким новым физическим результатам, не будем воспроизводить. Конечный
результат показывает, что перестановочные соотношения полностью
аналогичны случаю дискретной решетки или случаю континуума со скалярным
полем, т. е. имеют вид
iw(x-x') 1
W j
(11.52)
fll* (х), Aj (x')| -у 6? (x - x') ==
(11.54)
(11.55)
(11.56)
(11.57)
92
КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ
{ГЛ. III
С помощью только что использованных разложений (11.37) и
(11.40) можно вычислить также оператор Гамильтона, для чего следует
подставить эти разложения в выражение (11.35) и провести интегрирование.
Оператор Гамильтона тогда принимает хорошо известный нам вид
Сумма 2 (х/г) представляет пулевую энергию. Поскольку
W, з
частоты с ростом w растут и сумма распространяется на бесконечное число
значений w, это выражение расходится. Однако, поскольку нулевая энергия
вакуума ненаблюдаема, мы можем спокойно опустить это выражение. Число
фотонов моды w, j описывается оператором
Собственные состояния уравнения Шредингера с оператором Гамильтона
(11.58) имеют тот же самый вид, что и в предыдущих параграфах:
тора w и индексам поляризации /. Оператор числа фотонов и1у, 3-может
принимать только какие-либо целые значения 0, 1, 2,
На практике большинство nWj = 0 и только некоторые немногие ?=0. Положим
теперь по определению (5+)° = 1. Вакуумное состояние Фо, как обычно,
определяется свойством
bw,/Do == 0 для всех w, /.
Поскольку операторы Ь+ между собой коммутируют, порядок степеней в
(11.60) произволен.
Суммируем теперь кратко наши результаты! Мы видели, что векторный
потенциал при квантовании электромагнитного поля становится оператором.
Экспериментально наблюдаемыми величинами или, по принятой в квантовой
механике терминологии, наблюдаемыми являются, собственно говоря,
электрическое поле Е и магнитное поле Н, которые в выбранной нами
кулоновской калибровке связаны с А равенствами
н = 2 frcow {btjbwj + Va).
(11.58)
nKj = Ь
i+ Ь ¦
(11.59)
где п означает произведение по всем значениям волнового век-
w,J
Е = - - А,
С
Н = rot А.
#
(11.61) (11.62) '
Поскольку А является оператором, полевые величины Е и Н
ТРЕХМЕРНЫЕ ПРОБЛЕМЫ. ФОТОНЫ
93
в квантовой электродинамике также становятся операторами. Элементарное
рассмотрение показывает, что Н и Е не коммутируют с оператором
Гамильтона1).
То обстоятельство, что Н и Е не коммутируют с Н, означает, что
напряженности полей и число фотонов одновременно точно неизмеримы. Далее,
следствием перестановочных соотношений между напряженностями полей и
канонически сопряженными импульсами является невозможность одновременного
измерения всех компонент напряженностей Е и Н. Тем не менее можно
установить, что divE коммутирует с Н и Н. К взаимодействию квантованного
электромагнитного поля с веществом мы еще вернемся позднее в §§ 44 и 45.
Приведем теперь дополнительно для интересующихся читателей доказательство
тождественности выражений
При этом следует предположить, что А исчезает на границе области
интегрирования, a divA = 0. Составим разность выражений (11.63) и
(11.64). Применяя краткое обозначение
получаем затем
I II - J ({Ах\у Ау\х)3 + (Ау\г А-ру)2 (ЛГ\зг Ах|г)2
- (Пх|ж Ах|,у -р Ах\г + А1\х Ау\у -|-
+ + А*\х + А*Лу + А|,г)) d3x. (11.66)
Возведение подынтегральных членов в квадрат и приведение подобных членов
приводят к выражению
') К доказательству этого можно подойти следующим образом. Для Н
используется выражение (11.58), а вместо А в соотношения (11.61) и
(11.62) подставляют разложение (11.37). Тогда проблема коммутации Ей Н
или Ни Н сводится к анализу перестановочных соотношений (11.55 -11.57).
I = J (rot A)2 d3x (11.63)
II = | ((grad Ах)2 -f (grad Ay)2 + (grad Az)2) d3x. (11.64)
и
I - II = - j* (2Ax\yAy\x -j- 2Ay\zAz\y + 2AZ\XAX\Z -f-
+ Axjx + A^y + Afiz)d3x. (11.67)
94
КВАНТОВАНИЙ ПОЛЯ
[ГЛ. ITT
После двукратного интегрирования по частям это выражение переходит в
следующее:
Это выражение, очевидно, в силу предположения (11.20) тождественно равно
нулю.
Э а д а н п е к § J1
Определить функции Лагранжа п Гамильтона для урав-
§ 12. Квантование шредингеровских волновых полей, подчиняющихся
статистике Бозе (вторичное квантование). Бозоны
Б предыдущих параграфах было показано, каким образом можно проквантовать
волновое уравнение для скалярного или векторного поля. При этом важнейший
результат состоял в том, что волновое поле приобретает свойства,
