Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Хакен Х. -> "Квантовополевая теория твердого тела" -> 29

Квантовополевая теория твердого тела - Хакен Х.

Хакен Х. Квантовополевая теория твердого тела — М.: Наука, 1980. — 344 c.
Скачать (прямая ссылка): kvantovayateoriyatverdogotela1980.djvu
Предыдущая << 1 .. 23 24 25 26 27 28 < 29 > 30 31 32 33 34 35 .. 118 >> Следующая

j*/(x)8(x - x')d3x f{x'), (11.7)
где функция /(х) должна быть непрерывной. Здесь и в дальнейшем изложении
j .. . dax обозначает трехмерный интеграл
ш- . dx dy dz. Перестановочные соотношения приобретают вид л (х) ф (х') -
ф (х') л (х) = б (х - х'),
ф(х)ф(х')-,ф(х')ф(х) = 0, (11.8)
л (х) я (х') - л (х') я (х) = 0.
Полноты ради приведем еще функцию Гамильтона,-которую также можно
записать в виде интеграла от плотности гамильтониана:
| Н = ^ Ж {х) dax. * (11.9)
§ ill
ТРЕХМЕРНЫЕ ПРОБЛЕМЫ. ФОТОНЫ
85
Плотность гамильтониана задается выражением
Ж (х) = -L я2 + -L (grad ф)2. (11.10)
Если аналогично одномерному случаю разложить ф и л по плоским волнам с
законом дисперсии
со W = vw, и = ]/-?-, (11.11)
т. е. представить эти величины в виде
Г V IV W
" = 7? 2 У (- M"VX + Ь+е-{"х),
(11.12)
то оператор Гамильтона преобразуется к уже хорошо известному нам виду
H=yi1mw(b+bVl,+ ^-\ (11.13)
W ' /
Из вида гамильтониана следует, что квантование трехмерного волнового
уравнения происходит совершенно аналогично случаю одного измерения.
Единственное отличие состоит в том, что суммирование по w происходит
теперь в трехмерном w-пространстве. После этих подготовительных замечаний
мы в состоянии предпринять квантование электромагнитного поля.
Исходным пунктом для нас являются уравнения Максвелла в вакууме, которые
в системе СГС имеют следующий вид (при Н = В и Е = D):
rotE-f ~-Н = 0, (11.14)
rot Н - Ё - - j (11.15)
С С ' ' 7
div Н = 0, (11.16)
div Е = 4лр. (11.17)
Поскольку, согласно (11.16), дивергенция Н равна нулю, то вектор Н можно
рассматривать как ротор некоторого векторного потенциала А:
Н = rot А. (11.18)
Если подставить (11.18) в (11.14), то оказывается, что Е можно
86
КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ
[ГЛ. Ш
представить в виде
Е = A-grad У, (11.19)
где У представляет скалярный электрический потенциал. Заменяя в уравнении
(11.15) Н через (11.18) и Е через (11.19), получаем
А - ДА + grad (div A + lF)=^j. (11.20)
С другой стороны, после подстановки (11.19) в (11.17) получается
уравнение
- ДУ - ~ div А = 4яр. (11.21)
Потенциалы А и У определены неоднозначно и могут быть пере-калиброваны с
помощью калибровочного преобразования
А = A' -grad х, V^=V'+~X- (11.22)
Эти калибровочные преобразования могут быть использованы для дальнейшего
упрощения уравнений (11.20) и (11.21). Известным условием является
условие Лоренца
div А + У = 0, (11.22а)
с помощью которого уравнения (11.20) и (11.21) принимают следующий
простой вид:
? А = -^], (11.23)
? У = - 4яр, (11.24) где оператор ? определен следующим образом:
° = д-?з?- <и-25>
В последующем изложении, однако, мы будем использовать не эту калибровку,
а кулоновскую калибровку, которая определяется следующий образом:
| divA = 0. (11.26)
Согласно кулоновской калибровке векторный потенциал содержит только
поперечные волны. Разложим в общем случае А* по плоским волнам:
А(х, t) = 2 Awelwx + к.см , (11.27)
w
ТРЕХМЕРНЫЕ ПРОБЛЕМЫ. ФОТОНЫ
87
тогда в силу лилейной независимости экспоненциальных функций и условия
div А =*= 0 отсюда следует соотношение
Aww = О,
(11.28)
которое и означает поперечность векторного потенциала. В ку-лоновской
калибровке (11.26) исходные уравнения (11.20) и (11.21) принимают вид
Уравнение (11.29) представляет собой хорошо известное уравнение Пуассона,
в котором можно ташке считать, что плотность заряда зависит от времени. В
этом параграфе мы исследуем вакуум без зарядов и токов, т. е.
рассматриваем квантование волнового уравнения')
Уравнение (11.31), очевидно, представляет собой совокупность трех
волновых уравнений вида (11.1) для отдельных компонент векторного
потенциала. На этом основании мы можем тотчас построить функцию Лагранжа,
являющуюся обобщением функции Лагранжа (11.4), и записать ее в виде
Кроме того, мы должны учесть дополнительные условия (11.26), благодаря
чему при квантовании возникнут определенные отличия от одномерного
случая. Константа в (11.32) остается пока еще неопределенной, поскольку
при построении волнового уравнения из уравнений Лагранжа она выпадает.
Однако мы можем ее найти, для чего построим функцию Гамильтона и
потребуем, чтобы функция Гамильтона соответствовала классическому
выражению энергии электромагнитного поля. Как известно, это классическое
выражение имеет следующий вид:
') В последующем изложении будем считать, что V не является динамической
переменной, а является классической функцией, определяемой через
плотность заряда р. В нашем случае следует считать' ату функцию равной
нулю.
| ДГ = - 4лр
(11.29)
и
? A^-i^j + 4-gradF.
(11.30)
? А = 0.
(11.31)
~(grad Ах)2 - ^(gradAy)2- y(grad Azf jd?x.
(11.32)
(11.33)
88
КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ
[ГЛ. Ш
Выражая здесь Е и Н с помощью соотношений (11.18) и (11.19) через
векторный потенциал, непосредственно получаем
Переписывая выражение (rot А)2 в компонентах и учитывая, что div А = 0,
получаем с помощью интегрирования по частям следующее выражение для U,
которое одновременно идентично выражению для функции Гамильтона
Предыдущая << 1 .. 23 24 25 26 27 28 < 29 > 30 31 32 33 34 35 .. 118 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed