Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Хакен Х. -> "Квантовополевая теория твердого тела" -> 47

Квантовополевая теория твердого тела - Хакен Х.

Хакен Х. Квантовополевая теория твердого тела — М.: Наука, 1980. — 344 c.
Скачать (прямая ссылка): kvantovayateoriyatverdogotela1980.djvu
Предыдущая << 1 .. 41 42 43 44 45 46 < 47 > 48 49 50 51 52 53 .. 118 >> Следующая

к га-кратному умножению ф(х) на к:
Г"ф = Л"ф. (17.5)
Поскольку 2"Чр(х) есть не что иное, как ф(х + ral), которая согласно
условию нормировки должна быть ограничена, то отсюда следует, что и
А,"ф(х) также должна быть ограничена. Поскольку ф(х) не может быть
тождественно равна нулю, то к по величине определенно не может быть
больше единицы. С другой стороны, к по величине не может быть и меньше
единицы, так как в противном случае при движении в отрицательном
направлении (1 заменяется на - 1) вновь придем к утверждению, что ф
неограни-чена. Поэтому должно иметь место равенство
1X1=1. (17.6)
Для того чтобы удовлетворить условию (17.6), представим к в виде *)
k = eikl. (17.7)
С помощью (17.7) соотношение (17.4) можно сформулировать
следующим образом:
ф(х +1)= е'к1ф(х). (17.8)
Для того чтобы удовлетворить функциональному соотношению (17.8),
представим ф в виде
| ф(х)= e'kxMk(x). (17.9)
') В согласии с большинством оригинальных работ мы обозначаем волновой
вектор электронной волны через к.
142
ЭЛЕКТРОНЫ В "ЗАМОРОЖЕННОЙ" РЕШЕТКЕ
[ГЛ. IV
Подстановка (17.9) в (17.8) приводит к утверждению, что функция и
периодична с периодом решетки:
| Мк(х +1)= мк(х). (17.10)
Соотношения' (17.9) и (17.10) представляют собой теорему Блоха:
собственные функции в бесконечно протяженной решетке имеют вид плоских
волн, модулированных е периодом решетки (рис. 26). Проблема теперь,
собственно, состоит в том, чтобы определить функции и(х) при заданном
потенциале V. Если подставить (17.9) в уравнение Шредингера (17.2), то
после элементарного вычисления получается следующее уравнение для и:
(^Г (k2 - 2^к grad - A) -f V (х)} uk (х) = EkJuk (х). (17.11)
Из этого уравнения вытекает, что и, а следовательно, и энергия Е зависят
и от волнового вектора к как от параметра. При фиксированном к уравнение
(17.11) допускает ряд собственных значений, которые поэтому следует
обозначить еще одним индексом /. Следует ожидать поэтому, что Е, с одной
стороны, непрерывным образом зависит от к, ас другой стороны, зависит от
дискретных индексов /. Для определения и и Е следует прибегнуть либо к
точно решаемым простым моделям, либо к приближенным методам, таким,
например, как теория возмущений или численные I методы решения.
Определение зависимости энергии Et, j от " к и j является важной задачей,
х которую, однако, нам нет необходимости здесь обсуждать, поскольку она
ничего не дает для Рис. 26. Елоховская волна пред- понимания квантовой
теории поля,
ставляет собой плоскую волну Поэтому мы сразу приведем важ-
(а), которая модулирована с пе- нейший результат, наглядно пред-
риодом решетки фунйциеи а (б); 1 .,J ' "1 г*
кривая (в) представляет деист- ставленный на рис. 27. Энер-
вительную часть результирую- гии как функции к расположений блоховсиой
волны. ны полосами, т. е. так называе-
мые . разрешенные зоны перемежаются запрещенными зонами. В конечном
кристалле в распоряжении электронов внутри этих полос имеются тесно
расположенные дискретные состояния (к=2пп/Ь). Эти состояния, соглас-
и(х)
р"-*-Л р- -О р---------------
Ш 1/и -|ш !п
6)
Re y>(x)-Re (е1кх:и(л.•))
А^А
")
§ 17]
КРАТКОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ ТЕОРИИ БЛОХА
143
но принципу Паули, могут^ заполняться снизу электронами с двумя
противоположно направленными спинами. Последнюю заполненную полосу обычно
называют валентной зоной, а первую пустую или частично заполненную зону -
зоной проводимости.
Поведение электронов в кристалле, в особенности на краю зон, в нашем
случае при к = О, легко понять. Например, как ясно из рис. 27, энергию Е
на краю зоны можно разложить по к и для достаточно малых значений к
представить в виде
ГГ
(17.12)
+ 2 те*'
(В (17.12) мы ограничились простейшим случаем изотропной зоны. В этом
случае разложепие начинается с члена, пропорционального квадрату величины
к2.)
Зависимость (17.12) находится в полном согласии со случаем свободных
электронов, с той лишь разницей, что теперь масса т* совершенно отлична
от массы свободного электрона. Этот множитель т*, называемый также
эффективной или кажущейся массой, может быть не только существенно
больше, но и существенно меньше, нежели в случае свободного электрона.
Эта аналогия между электроном в кристалле и свободным электроном, однако,
простирается существенно дальше. Рассмотрим для этого волновой пакет,
образованный из волн вида (17.9) в окрестности некоторого значения
волнового числа к. Тогда легко показать, что групповая скорость v этого
волнового пакета может быть представлена обычным образом в следующем
виде:
Если теперь применить соотношение Е=%а, то (17.13) можно представить в
виде 1 дЕ Н дк '
или, в трехмерном случае, в виде
Рис.
зоны
27.
и
Энергия валентной зоны проводимости как функция к. Вертикальные черные
участки на оси Ей представляют собой проекции разрешенных зпачепий
энергии. При этом возникают зоны, разделенные запрещенными областями. При
поглощении и испускании электроны совершают вертикальный переход между
Предыдущая << 1 .. 41 42 43 44 45 46 < 47 > 48 49 50 51 52 53 .. 118 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed