Квантовополевая теория твердого тела - Хакен Х.
Скачать (прямая ссылка):
отклонений решетки qix), так и волновой функции электрона. Поскольку
проблема отыскания собственных функций оператора Гамильтона (15.11)
чрезвычайно сложна и на самом деле является важнейшей задачей квантовой
теории поля, не имеет смысла проводить разложение Я по собственным
функциям соответствующего классического уравнения.
Лучше обратиться к разложениям по собственным функциям несвязанных
волновых уравнений. Итак, воспользуемся разложениями
(10.18)). Из (15.12), напротив, сразу следует, что операторы обеих систем
между собой коммутируют:
Теперь обозначим кратко в (15.11) отдельные интегралы в порядке их
следования через Н0, вл, Я0, р, Я83, после чего оператор Гамильтона
примет следующий общий вид:
Если теперь ввести разложения (15.13) и (15.14) в соответствующие
выражения в (15.11) и (15.16), то для первых двух членов мы получим уже
хорошо известные нам выражения
(15.14)
(15.13)
Перестановочные соотношения между операторами ак па?, а также bw и bt, те
же самые, что и раньше (см. (13.4-13.6),
(15.15)
Я = Но, ол + Н0, р + Я83.
(15.16)
<15.17)
Нд,р - 2 wbwby)'
(15.18)
В последующем изложении мы будем очень часто применять
12Й КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ (ГЛ. Ill
следующее сокращенное обозначение:
№
2т
я
*2,.2
%гк
Я0 = Я0,эл 4- Я0,р = 2 4~ 2 ^^wbwibwt (15.19;
ftV
2m '
Новым является для нас вычисление оператора Гамильтона взаимодействия
Явз, который после подстановки разложений (15.13) и (15.14) принимает
следующий вид:
Для дальнейшего вычисления вынесем все выражения, по которым не
проводится интегрирование, за знак интеграла. Тогда перед интегралом
получаем суммы по w, к, к', а также произведения операторов bw 4- btw и
at, ah>. Далее, наконец, стоят числовые множители и сам интеграл. Это
последнее произведение обозначим кратко через kGkh'w Тогда Нъз принимает
вид
явз = 2 (bw + b±w)atah'HGhh'lv. (15.21)
ги,й,й'
Явное выражение для Ghh>w имеет следующий вид:
L
1 г-3/.
Tkk'w
У
Jj
?-3/. j ei(.w-h+h')xdX' (15.22)
о
Поскольку интеграл по х является символом Кронекера, выражение (15.22)
принимает вид
Ghh'w=y щ^~=ЬкХ+w. (15.23)
Для этого выражения в свою очередь введем сокращенное обозначение
Ghh'w ~ 8w&h,h'+V). (15.24)
После этих преобразований мы можем теперь выписать выражения для полного
гамильтониана. Оно имеет вид
я = я0 4- явз = й f 2 efcafeа* 4~ 2 (>>wbv>bw ~ь
\ h W
+ 2 ("й b+ah+wgw 4- aft+u,aftbu,gu,)V (15.25)
h,w I
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ МЕЖДУ ПОЛЯМИ
129
При этом мы сразу учли символ Кронекера (15.24). В последующем изложении
будет использоваться сокращенное обозначение, указанное в выражении
(15.25):
Н0 = #0, эл + Но, Р. (15.26)
Как мы увидим позже, выражения, которые будут получены для случая
взаимодействия между электронами и колебаниями решетки, а также для
взаимодействия между электронами и светом, имеют очень похожую, если не
тождественную структуру. Выражение (15.25) является основой для многих
исследований взаимодействующих полей, и на протяжении книги мы
познакомимся с целым рядом методов решения соответствующего гамильтониану
(15.25) уравнения Шредингера.
Примечание. Построение средних значений и матричных элементов делается,
как и раньше (§ 4 и § 13), с помощью приведенных там правил.
Задания к§ 15
1. Исключаем связь между полями и ищем решения уравнения Шредингера
Я0Ф = i^i%ehatah +2Ти0гА|АДФ = ЕФ. ' (А 15.1)
у k w J
Показать, что оно дается выражением
Ф(пй,ж№} = П ("2Т*П Фо. (А 15.2)
1 ' k W у mw\
причем щ = 0, 1; nij = 0, 1, 2, ..., и
я^Фо = ЬаФо = 0 для всех к, w. (А 15.3)
Соответствующие собственные энергии имеют вид
Ягп^.Шц,) = 2 fceknh ~Ь 2 k(owmw- (А 15.4)
h w
Если индексам к и w сопоставить целые числа 1, 2, 3, ..., то выражение (А
15.2) принимает следующий явный вид:
Фnltn2,...,nfe - ут !w i =^~(at) Ча2~) 2-- - X
Х Фо-
Указание. Подставить (А 15.2) в (А 15.1) и применить перестановочные
соотношения, а также (А 15.3).
9 X. Хакен
J30 КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ [ГЛ. III
2* Показать, что общее решение зависящего от времени уравнения Шредингера
Н0 Ф = ШФ (А 15.5)
имеет следующий вид:
-J-E(n ь,т"Л1
Ф=2^1ЯЧв}е й (r){nh,rnwy (А15-6)
Сумма берется по всем возможным комбинациям
(щ, П2, mi, m2, ...) с nj = 0, 1; тл = 0, 1, 2, ...
Коэффициенты - любые.
Указание. Подставить (А 15.6) в соответствующее зависящее от времени
уравнение (15.1) и учесть, что решение (А 15.2) является решением
независящего от времени уравнения Шре-дпнгера.
3. Доказать, что
,п2,...,пь ... т, I &k I Ф ' ' ' ' ' ^ =
= 6 ,6 /...6 , ...6 /...6 , .../т4, (А 15.7)
nlnl n2n2 mwmw~i
а также, что
\Фп1,л2 I ahbt 1 Ф
"ft--"*! "*">•••• 1 1 ^4,";.";.mi".
= 6 /6 1 ... 8 > ...6 " . . . 6 / ...К
-4- 1.
И1П1 п2п2 nknh~ 1
(А 15.8)
В (А 15.7) и (А 15.8) пап принимают значения лишь 0 или 1.
§ 16. Методические приемы: представление взаимодействия и представление
Гейзенберга 0
а) Представление взаимодействия. В этом параграфе мы обсудим некоторые
" методические приемы, а именно, так называемые представление
взаимодействия и представление Гейзенберга. Эти "представления" никоим
