Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Хакен Х. -> "Квантовополевая теория твердого тела" -> 50

Квантовополевая теория твердого тела - Хакен Х.

Хакен Х. Квантовополевая теория твердого тела — М.: Наука, 1980. — 344 c.
Скачать (прямая ссылка): kvantovayateoriyatverdogotela1980.djvu
Предыдущая << 1 .. 44 45 46 47 48 49 < 50 > 51 52 53 54 55 56 .. 118 >> Следующая

убедиться, синусы в знаменателе можно заменить
150 ЭЛЕКТРОНЫ В "ЗАМОРОЖЕННОЙ" РЕШЕТКЕ [ГЛ. V)
рх аргументами, так что (19.3) переходит в выражение го (х - 1) =
sin{(z-gil] (z - lz)
(19.4)
Как легко видеть из поведения функций (19.4), волновые функции го
действительно локализованы в области пространства с линейным размером а.
Прежде чем мы двинемся дальше, обсудим еще некоторое обобщение (19.1).
Нам придется часто иметь дело с функциями Ваннье, которые принадлежат
различным зонам. В этом случае следует различать модулирующие функции ик
с помощью еще одного индекса ц. Тогда и функция Ваннье зависит от этого
индекса ц.
2. Функции Ваннье, локализованные в различных точках 1, 1' или
принадлежащие различным зонам ц, р/, взаимно ортогональны. Для
доказательства этого положения образуем следующее выражение:
j (х - 1) Wp,' (х - Г) d3x =
= 4" 2 eikl-ik'r J e-ikxUkilX (х) е*'хик.ж (х) d3x. (19.5)
^кк'^щГ
Поскольку блоховские функции различных зон или различных значений к
взаимно ортогональны, интеграл преобразуется в произведение символов
Кронекера. Тогда (19.5) переходит в выражение
Wir2eikl~ik1'- <19-6)
Суммирование по к выполняется сразу же (см., например, § 7) и вновь дает
символ Кронекера для различных точек локализации. Тогда получаем
окончательно следующее соотношение:
| J гоЦ, (х - 1)иу (х - Y)d3x = бцц'бп'. (19.7)
§ 20. Электроны в кристаллической решетке: формулировка проблемы многих
тел. Приближение Хартри - Фока
В этом параграфе мы сформулируем проблему многих электронов в твердом
теле с помощью вторичного квантования. Для ртого доложим в основу
следующую модель; элецтроны должны
u.(x)i/tf(-?-)
I Sin {(ж - lx) JL] sin {(2/ - ly) -?Lj
(y-lv)
§ 20]
ЭЛЕКТРОНЫ В КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКЕ
151
двигаться в строго периодической решетке, ионы которой считаются
бесконечно тяжелыми и поэтому покоятся. Далее примем, что электроны
внутренних атомных оболочек учитываются в целом тем, что онй вместе с
положительными атомными ядрами создают эффективный, периодический с
периодом решетки потенциал Fp. Поскольку энергия кулоновского
взаимодействия между электронами дает наибольший из всех взаимодействий
между электронами вклад, то в дальнейшем мы учтем явно только эту
энергию. Однако общий формализм можно распространить и на другие
взаимодействия, например магнитное взаимодействие. Оператор Гамильтона
состоит из трех частей: кинетической энергии электронов, потенциальной!
энергии в периодической кристаллической решетке и, наконец, кулоновского
взаимодействия между электронами. Как мы уже видели в § 13,
соответствующее уравнение Шредингера имеет вид
j (х) { - Ь А + Кр (*)} Ф (х) +
2
+ т И ^ (Х^ '*'+ I X - х' I У (х,) У (х) 1
Ф - ЕФ-(20.1)
При этом функции г|)+(х) и ф(х) являются еще операторами, которые
удовлетворяют ферми-перестановочным соотношениям из § 13. Разложим эти
операторы по собственным функциям Ф*(х) и фй (х):
ф(х) = 2"л(х), (20.2)
к
ф+(х) = (20.3)
к
Примем вначале, что эти собственные функции ц>к и ф;г образуют полный
набор ортонормированных функций. Однако мы не предполагаем, что эти
волновые функции являются решением уравнения Шредингера, а наоборот, мы
хотим найти уравнение Шредингера, для которого эти фь являются
"оптимальными" собственными функциями. Под этим понимается следующее. Мы
намереваемся установить эти волновые функции в рамках метода Хартри -
Фока. Эта процедура проводится следующим образом. Считается, что волновые
функции нулевого приближения заданы, затем определяют поле потенциала,
вызванного распределением зарядов для этих волновых функций; отсюда вновь
находят волновые функции, соответствующие полю атомных остовов и
упомянутого выше распределения зарядов, затем эти новые волновые ^функции
используются в качестве исходного
152
ЭЛЕКТРОНЫ В "ЗАМОРОЖЕННОЙ" РЕШЕТКЕ
[ГЛ. IV
пункта для следующего приближения (см. таблицу). Мы не будем, однако,
повторять этот метод обычным образом, а дадим его обоснование прямо в
рамках вторичного квантования. Для этого, как уже говорилось, будем
считать, что имеются волновые функции cpft, заданные в указанном ниже
смысле, и создадим теперь
И Т. д.
некоторое состояние Ф электронов кристалла. Для этого будем размещать
электроны один за другим по состояниям ки &2, • •kN. То есть в основу
рассмотрения кладется функция состояния
| Ф = а^42...а^Ф0. (20.4)
Используя эту функцию состояния (20.4), образуем среднее значение
оператора Гамильтона (20.1) с дополнительным условием, что эта функция
состояния нормирована. Нормировка Ф включает, очевидно, нормировку
введенных выше функций ср, так что это дополнительное условие в
последующем изложении будет считаться выполненным.
Функция (20.4), конечно, не является точной, поскольку она не учитывает
корреляции между электронами. Если же мы хотим получить оптимальную, т.
е. в вариационном смысле минимальную, энергию, нам потребуются еще
произвольные параметры.
§ 20]
ЭЛЕКТРОНЫ В КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКЕ
Предыдущая << 1 .. 44 45 46 47 48 49 < 50 > 51 52 53 54 55 56 .. 118 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed