Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Хакен Х. -> "Квантовополевая теория твердого тела" -> 49

Квантовополевая теория твердого тела - Хакен Х.

Хакен Х. Квантовополевая теория твердого тела — М.: Наука, 1980. — 344 c.
Скачать (прямая ссылка): kvantovayateoriyatverdogotela1980.djvu
Предыдущая << 1 .. 43 44 45 46 47 48 < 49 > 50 51 52 53 54 55 .. 118 >> Следующая

t Л + + W (х)} fP W = Е(? (*) (18-4)
могут быть определены с помощью собственных значений энергии и волновых
функций значительно более простой проблемы:
{Е°-&*А + W <")} * " = Е'Ъ W (18-5)
в следующем смысле:
1. Собственные значения энергий совпадают:
| Е = Е'.
2. Если разложить ф(х) по блоховским волнам (18.2), а ф(х) по плоским
волнам, то коэффициенты разложения скфункций ф(х) и tJj(x) тождественны:
ф(х) = 2ck^T=eikxnk (х), (18.6)
ф тождественны!
ф м = 2 °к yfeikx- (18-7)
В (18.7) V обозначает объем кристалла.
Если в (18.7) и тем самым также в (18.6) существенны лишь коэффициенты с
малым к, то в Ик (х) можно положить к * 0. Тогда в (18.6) л (18.7)
получим следующее приближенное равенство:
ф(х)" n0(x)i|>(x).
Следовательно, решение (18.4), которое мы ищем, имеет вид произведения
быстро меняющегося решеточного множителя щ{х) и медленно меняющегося
"модулирующего" множителя ij>(x).
§ 18] МЕТОД ЭФФЕКТИВНОЙ МАССЫ 147
Перейдем к доказательству утверждений 1 и 21):
а) подставим разложение (18.6) в (18.4) и получим уравнение для
коэффициентов Сь;
б) исходя из наших предположений относительно ИДх) и Ек, упростим это
уравнение;
в) покажем, что это новое уравнение тождественно (18.5), если применить
разложение (18.7).
а) Подставляем (18.6) в (18.4), умножаем слева на фк' и интегрируем по
объему:
2 ск j Фк- (х) {- А + V (х) + W (х)} Фк (х) d3x =
= S С*Е | фк' (х) фк (х) d3x. (18.8) к
Учтем в левой части этого уравнения, что фк(х) удовлетворяет уравнению
(18.1), и введем следующее сокращенное обозначение:
HVk = jf j e-ik'xMk' (х) W (х) eik*uk (х) d3x. (18.9)
Воспользуемся, наконец, в обеих частях (18.8) ортогональностью блоховских
волн. Тогда получаем
Ск'Ек' + 2ckW^k'k - Ест. (18.10)
k
б) Упростим уравнение (18.10). Для Ек> используем (18.3). Интеграл Wk'k
(18.9) разложим в сумму по отдельным элементарным ячейкам с радиусом-
вектором 1: *
Wk-k=4-2 j* e~ik'xuk> (х) W (х) eikxnk (х) d3x. (18.11)
* элементарная ячейка 1
Согласно предположению следует считать' ИДх) внутри элементарной ячейки
постоянной, так что ИДх)=ИД1) можно вынести за знак интеграла.
Примем теперь, что основную роль в (18.6) и (18.7) и тем самым также в
(18.11) играют только малые значения к. (Согласно соотношению
неопределенности А к Ах" 1 это означает, что волновой пакет (18.7) имеет
большую протяженность Ах.) Отсюда следует:
*) Читатель, более интересующийся полевыми методами, это доказательство
может пропустить.
10*
148
ЭЛЕКТРОНЫ В "ЗАМОРОЖЕННОЙ." РЕШЕТКЕ
(ГЛ. IV
ба) член e~ik'xeikx мало меняется внутри элементарной ячейки, поэтому
может быть вынесен за знак интеграла;
бб) в uk. (х) и ик(х) можно положить к' = к = 0 (иными словами, и* ж и
разлагаются по к' и к, причем членами высшего порядка малости можно
пренебречь). Тогда получаем
Wk'k W ei(k-lr)l ] u*0(x)u0(x) dzx.
N
1 элементарная
ячейка 1
(18.12)
Поскольку функции и периодичны с периодом решетки и нормированы на 1
внутри элементарной ячейки, выражение (18.12) переходит в
(18ЛЗ)
]
Теперь сделаем один шаг назад: поскольку IF(x) и экспоненциальные функции
меняются медленно, сумму по 1 можно преобразовать в интеграл по кристаллу
(причем справедливо соотношение -4- "51 -4" I • • • d3x j, тогда получим
wv
k'k =
г! ••• d*x\
j e~ik'x'W (х') y=e*x'dax', (18.14)
причем множители в этом выражении расположены несколько по-иному. Теперь
подставим (18.3) и (18.14) в (18.10), поменяв порядок следования i и Е:
(?-
(18.15)
Умножим это уравнение на 1/У V еш'х, учитывая, что k'2eik'x = = - Aeik'x,
и просуммируем по к':
§ 19]
ФУНКЦИИ ВАННЬЕ
149
1
Если теперь положить ^ ск- eik х = ф (х) и учесть, что
2 е'к (х_х''J - S(x -х'), то получим прямо уравнение (18.5). Тем самым
наше предложение доказано.
§ 19. Функции Ваннье: волновые пакеты из функций Блоха
Волновые пакеты, в частности из плоских волн, хорошо известны в квантовой
теории. С их помощью можно локализовать волновые функции частиц в
определенном объеме пространства, отобразив тем самым локализацию частиц.
Ввиду близкой аналогии между блоховскилш и плоскими волнами можно
попытаться построить волновые пакеты такого рода из блоховских волн. Это
делается следующим образом:
w(x - 1) = у= 2e"ik'eikXMk (х)> (19.1)
причем сумма распространяется па все значения к внутри данной
энергетической зоны. N - число элементарных ячеек. Функции, определяемые
с помощью ряда (19.1), называются функциями Ваннье. Они обладают целым
рядом важных для теории твердого тела свойств, которые мы рассмотрим
ниже.
1. Функции Ваннье описывают локализацию электрона в окрестности точки
1 на протяжении примерно одной постоянной решетки. Чтобы увидеть это,
рассмотрим особый случай, когда функции Мк(х) не зависят от к:
иь(х) uo(x). (19.2)
В этом случае суммирование в (19.1) выполняется сразу и для кристалла,
который имеет форму куба, дает (с точностью до некоторого фазового
множителя)
w(x- 1) =
Здесь а - постоянная решетки, a L - линейный размер кристалла. Как легко
Предыдущая << 1 .. 43 44 45 46 47 48 < 49 > 50 51 52 53 54 55 .. 118 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed