Квантовополевая теория твердого тела - Хакен Х.
Скачать (прямая ссылка):
зонами (штриховая стрелка).
V = ¦
(17.14)
v = -т- gradk Е.
(17.14а)
144
ЭЛЕКТРОНЫ В "ЗАМОРОЖЕННОЙ" РЕШЕТКЕ
(ГЛ. IV
Если воспользоваться для Е выражением (17.12), то получим применяемое в
случае свободных электронов соотношение между импульсом Йк и скоростью v:
v-g, (17.15)
Таким образом, в присутствии внешних полей электрон ведет себя совершенно
как свободная частица с эффективной массой т*, если только эти поля
достаточно медленно изменяются в пространстве и времени (см. § 18). Так,
например, в присутствии электрического поля F справедливо следующее
уравнение движения:
| m*v=ftk = eF. (17.16)
Из сказанного следует, что зонная модель позволяет ввести формулы для
электрической проводимости, причем электроны можно считать свободными
частицами. Далее, зта модель показывает, что электрическая проводимость
возникает при наличии отдельных (или многих) электронов в зоне
проводимости, а для до конца заполненной зоны она равна нулю, что
приводит
к естественному различию между изоляторами и проводниками. Далее,
зонная модель позволяет сделать предсказания
относительно оптического поглощения. Оказывается, что при оптическом
переходе имеет место так называемое правило отбора по волновому вектору
к, которое гласит, что электроны при оптическом возбуждении переходят из
валентной зоны в зону проводимости с сохранением их волновых
векторов к (см. рис. 27). На основе этих представлений получается
следующий ход кривой поглощения. При малых энергиях
фотонов электроны не могут перейти
из валентной зоны в зону проводимости. Если энергия возрастает до
величины, равной ширине запрещенной зоны, то переход становится возможным
и тогда Рис. 28. Коэффициент можно ожидать появления полосы ногло-
поглощения а как функ- щения вида, представленного на рис. 28. ция
частоты света при тт
межзонном переходе Несмотря на многочисленные усне-
(схематически). хи, зонная модель имеет, однако, существенные
недостатки, из которых
мы упомянем следующие:
1. Мы исходим из решеточного потенциала F(x), который периодичен с
периодом решетки, однако этот потенциал должен быть определен, собственно
говоря, через взаимодействие электронов между собой.
§ 18]
МЕТОД ЭФФЕКТИВНОЙ МАССЫ
145
2. Если из валентной зоны удаляется электрон, то в ней остается незанятое
состояние (дырка), которая ведет себя, как известно из эксперимента, как
самостоятельная частица с положительным зарядом и определенной
эффективной массой. Следовательно, нужно доказать, что система из N
электронов в валентной зоне ведет себя в точности как отдельная частица,
что можно сделать удовлетворительным образом только в рамках метода
вторичного квантования. Уже эти примеры показывают, что рассмотрение
проблемы многих электронов (в особенности в рамках метода вторичного
квантования) представляет собой первоочередную задачу теории твердого
тела. На этих проблемах мы остановимся в §§ 20, 21 и 22.
3. Кривая поглощения, представленная на рис. 28, обнаружена не во всех
объектах. Часто на подобную полосу поглощения накладываются более или
менее широкие дискретные линии, которые происходят не от дефектов
структуры, а являются свойством системы электронов матрицы решетки.
Поскольку эти линии не могут быть предсказаны в рамках зонной модели,
следует включить в рассмотрение принципиально новые соображения в рамках
теории многих частиц (§§ 23, 24).
§ 18. Метод эффективной массы
В этом параграфе будет доказано основополагающее для физики твердого тела
Предложение. Электроны, находящиеся в периодическом поле кристалла вблизи
нижнего края зоны проводимости, под воздействием дополнительного медленно
меняющегося поля ведут себя как электроны в свободном пространстве, но с
эффективной массой ш*.
Это предложение утверждает, таким образом, что решеточный потенциал можно
полностью исключить, если заменить массу электрона m на эффективную массу
т*.
Для доказательства этого предложения придадим ему прежде всего строгий
математический вид. Для этого введем следующие обозначения и предпосылки:
Пусть F(x)-периодический с периодом решетки потенциал.
Пусть БДх) - потенциал дополнительного поля. Это поле должно меняться в
кристалле столь медленно, что внутри одной элементарной ячейки оно может
считаться постоянным.
Решение уравнения Шредингера для F(x) (т. е. без ВПх)):
{~lrA + F(x>bk(x) = i?k(Pk(x) (18.1)
согласно теореме Блоха (17.9), (17.10) имеет вид
<рк (х) = eikx ик (х). (18.2)
146 ЭЛЕКТРОНЫ В "ЗАМОРОЖЕННОЙ" РЕШЕТКЕ 1ГЛ. IV
В этом решении в явном виде из Ик(х) выделен нормировочный множитель 1 HN
Ш - число элементарных ячеек в кристалле), так что "к (х) нормиро1вана в
элементарной ячейке.
Пусть /?к в точке к = 0 можно представить в виде
/г2/с2
.Z?k - Ей + 2т* -Ь(члены более высокого порядка, которыми
можно пренебречь). (18.3)
Точная математическая формулировка гласит:
Собственные значения энергии и волновые функции проблемы в целом с учетом
решеточного потенциала У(х) и дополнительного потенциала ИТх):
