Квантовополевая теория твердого тела - Хакен Х.
Скачать (прямая ссылка):
сказано, волповые функции нулевого приближения считаются известными,
затем строится потенциал в том виде, в котором он входит в уравнение
(20.24), а затем из получившегося интегро-дифференциального уравнения
определяются новые волновые функции <р/,. Эти новые волновые функции
затем служат исходным пунктом построения следующего приближения. Эта
процедура сходится, если после нескольких повторений вновь получаются те
же самые волновые функции, которые были заложены в предыдущем щаге (метод
"самосогласованного поля").
ЭЛЕКТРОНЫ В КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКЕ
159
Уравнение Шредингера (20.24) можно переписать в кратком виде
#афффй (х) = {- Д + Уэфф (х)} фл (х) - Ёфй (х), (20.25)
причем следует ясно представлять себе, что Уэфф не является обычным
потенциалом, а содержит еще и обменный член. В общем случае можно лишь
утверждать, что потенциал Уэфф также является функцией, периодической с
периодом решетки. (Поскольку блоховскпе функции применяются в ф
"самосогласованным" образом.)
Уравнение (20.25) имеет в точности такой же вид, что и уравнение,
положенное в основу теории Блоха в § 17. Поэтому все сделанные там
высказывания относительно волновых функций, а также энергетическая схема
остаются в силе и здесь, что позволяет дать лучшее обоснование зонной
модели. Правда, не следует упускать из вида, что нами использована весьма
специальная функция состояния, а именно (20.4), так что целый ряд
эффектов нами не учтен. В последующем изложении на примерах будет
показано, как могут быть рассмотрены эффекты, связанные с так называемой
корреляцией между электронами.
В рамках рассматриваемого формализма до сих пор не уточнялось, насколько
заполнены получившиеся зоны. Наше рассмотрение справедливо, в частности,
для случая, когда валентная зона заполнена полностью и имеется еще один
электрон в соседней зоне - зоне проводимости. Для более полной
характеристики волновой функции (20.4) добавим к квантовому числу к еще
квантовые числа V и L для валентной зоны и зоны проводимости
соответственно. Для избыточного электрона (т. е. валентная зона заполнена
и имеется только один электрон в зоне проводимости) волновая функция
имеет следующий общий вид:
Ф = a~h'L (ai1<yObity ... ф^.уФо)- (20.26)
Фу
Поскольку находящееся в скобках выражение представляет функцию, которая
описывает электроны в валентной зоне, кратко обозначим его через Фу и в
последующем изложении будем писать функцию состояния избыточного
электрона в виде
! Ф = Фу. (20.27)
Заданиек§20
Доказать следующие, справедливые для хартри-фоковской функции состояния Ф
(20.4) и чрезвычайно важные для
160
ЭЛЕКТРОНЫ Ё "ЗАМОРОЖЕННОЙ" РЕШЕТКЕ
[ГЛ. IV
приложений соотношения:
<Ф|г|з+(х1)1|з+(х2)г|з(хз)г|>(х4)1Ф> =
= <Ф! ф+(х! )ф(Х4) I Ф> <Ф I ф+(Х2)'ф(Хз) 1 Ф> -
- <Ф|г|з+(х1)г|з(х3)|Ф><Ф|г|з+(х2)г|з(х4)1Ф>. (А 20.1)
Указание. Разложить ф+, ф согласно (20.2), (20.3), применить
(20.4), а также (20.18). Приведем еще один промежуточный результат:
Если применять только числа заполнения щ =1 для к= к\, А'2, ..., kN (см.
(20.4)) и щ = 0 в остальных случаях, то левая часть (А 20.1) принимает
следующий вид:
{2 ЩЦ>* (xl) Фj (хт)}{2 (х2) ф;' (хз)} -
- |2 П}ф* (X,) Ф,- (хз)}{2 nj'4'*' (ха) Фл' (хг)} •
Но это выражение в силу равенства
2 п;ф* (х) ср,- (х') = <Ф | ф+ (х) il! (х') | Ф> (А 20.2)
3
совпадает с правой частью (А 20.1). Доказательство (А 20.2) проводится с
помощью (20.10).
Примечание. В методе Хартри второе произведение в правой части (А 20.1)
опускают.
§ 21. Электронные дырки *)
Благодаря формализму вторичного квантования мы теперь в состоянии
особенно простым образом ввести понятие электронной дырки и осмыслить его
математически.
При этом речь идет о следующей проблеме.
Будем исходить из заполненной валентной зоны, из которой удален электрон
в состоянии к. Как будет показано, это незаполненное состояние ведет себя
точно как одна частица, однако с положительным зарядом. Для
математической формулировки будем исходить из полностью заполненной
валентной зоны с волновой функцией Фу, в которой с помощью оператора
уничтожения ah: г уничтожаем электрон в этом состоянии
Фй = щ, уФу. (21.1)
*) В специальной литературе по физике полупроводников обычно
употребляется термин "дырка". Однако мы будем придерживаться более
близкого к оригиналу термина "электронная дырка", поскольку мы не
предполагаем, что читатель знаком с физикой полупроводников. (Прим.
перев.)
ЭЛЕКТРОННЫЕ ДЫРКИ
161
Поскольку, как будет видно, благодаря этой операции рождается электронная
дырка, то вместо оператора уничтожения ahtV введем оператор рождения d и
соответствующий оператор уничтожения с помощью соотношений
Поскольку валентная зона занята, для оператора уничтожения dh справедливы
следующие соотношения:
Отсюда видно, что состояние Фг для оператора dh представляет вакуумное
состояние. Из построения оператора Гамильтона (20.7) нам известно, что
операторы рождения в нем всегда стоят слева от операторов уничтожения.
