Квантовополевая теория твердого тела - Хакен Х.
Скачать (прямая ссылка):
первоначальным состоянием (20.4), либо может отличаться от него. Если это
состояние отличается от первоначального, то выражение (20.11) обращается
в нуль, так как новое
состояние (20.13) ортогонально старому состоянию (20.4), кото-
рое также стоит слева в выражении (20.11). Поэтому необхо-
I ' I I L
А, к
ки к
156
ЭЛЕКТРОНЫ В "ЗАМОРОЖЕННОЙ" РЕШЕТКЕ
[ГЛ. IV
дпмо исследовать, каким образом, применив операторы рождения можно
восстановить старое состояние. Это возможно только в двух случаях:
либо т = т', 1 = 1', (20.14)
либо т = Г, 1 - тп'. (20.15)
Для того чтобы посмотреть, не появляется ли какой-либо знак плюс или
минус, вновь проведем все шаги по отдельности. В случае (20.14) старое
состояние возникает благодаря тому, что рождение происходит точно в
порядке, обратном уничтожению. Это означает, что перестановок сделано
столько, что знак минус пропадает.
В случае (20.14) в качестве результата получаем для среднего значения
(20.11) следующее выражение:
<Ф | af атат'аг\Фу ^8iv8mm' для 1фт, 1'Ф/п'; I, иг = /гь ..., kN, - 0
в остальных случаях. (20.16)
Теперь рассмотрим второй случай (20.15). Ввиду того, что
последовательность операторов рождения в (20.11) с индексами I и т
изменена, этот случай сводится к предыдущему случаю
(20.14), так что в результате получаем
<Ф | af| Ф> =
*(Ф | п'@1' | Ф)* ~ &1т'&тГ ДНЯ I 771, I 771 , I, 771 =
- /гь . . ., kN, = 0 в остальных случаях.
(20.17)
Результаты (20.16) и (20.17) можно объединить и представить одной
формулой
<(Ф | (li (Im&m'Q'V | Ф^ ~{6п'8тпГ ДНЯ 1=^771, I ф^ 771 J
I, 771 = ки . . . , kjf,
= 0 в остальных случаях.
(20.18)
Тем самым задача вычисления отдельных средних значений гамильтониана
(20.7) решена. Используя результаты, полученные выше для средних
значений, а именно (20.10) и (20.18), полу-
§ 20]
ЭЛЕКТРОНЫ В КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКЁ
157
чаем окончательное выражение для полной энергии в виде <Ф | /71 Ф> -
= 2 J (х) {- А + Fp (х^} wd3x+
hi
+ 4" 2 J J Ф* j (X) 4*1 (X') | x - x' j фйг (X') (X) ^ ^ -
kj,hj
~ 4" 2 j j 4>*j (x) "U; (*') | x - x -1 cP*j (x') Фй{ (x) rf3a; dV-
(20.19)
fej, it i
Суммы распространяются только на занятые состояния k\,...,kN.
Как уже отмечалось ранее, это выражение для полной энергии является
функционалом отдельных волновых функций фл. Теперь определим эти волновые
функции так, чтобы выражение для энергии (20.19) имело экстремальное
значение. В качестве дополнительного условия следует предусмотреть
нормировку волновых функций, которая выражается условием
J флф* d*x =¦-- 1. (20.20)
Для этого применим обычным образом параметр Лагранжа, ко-
торый обозначим Е. Проведение варьирования б/бсрДх) выражения (20.19) с
дополнительным условием (20.20) приводит непосредственно к уравнению1)
{~ йгл + Fp (х)}cpft (х) + 2 j* тh | х - х' | х
hj
X (х') d3x' фй (х) - ^ j TftJ (х')! х 1 х/ j X
hj
X Фь (х') d3x' cph. (х) == E<ph (х). (20.21)
Для интерпретации уравнения Шредингера (20.21) рассмотрим
входящие в него члены по отдельности. Оба члена в фигурных скобках
представляют знакомую нам потенциальную и кинетическую энергии электрона
в периодической решетке кристалла. Следующее выражение представляет
произведение искомой волновой функции фЛ и суммы по kj\
фДхШх), (20.22)
') Читателю, незнакомому с вариационным исчислением, напомним, что
определение б/бф^(Х) (в другом обозначении б/бq(x)) детально обсуждалось
в § 9.
158
Электроны в "замороженной" решетке
[ГЛ. IV
причем
г (х) ~2.fl** <"тг [г^п **¦ <20-22а>
k3
Поскольку |ф|2е имеет смысл плотности заряда, то сумма по kj имеет смысл
электростатического потенциала, вызванного распределением зарядов
электронов в состояниях kj. Последнее выражение в левой части (20.21)
имеет вид
- 2ф^-М\Их)' (20.23)
кз
где
Ah-,k (х) = j (*') Фй (х') dV. (20.23а)
Буква А указывает на то, что член (20.23) обусловлен "обменом" (по-
немецки "Austausch") электронов. Если сравнить это выражение с (20.22),
то можно увидеть, что в этом выражении волновая функция ф4, которая ранее
стояла за интегралом, теперь поменялась местами с волновой функцией ук.
под интегралом. Здесь речь идет, следовательно, о так называемом обменном
ку-лоновском взаимодействии.
Суммы по к} распространяются, как мы уже видели при введении этого
выражения, только на занятые состояния. С помощью сокращенных обозначений
(20.22) и (20.23) уравнение (20.21) может быть переписано в очень ясной
форме
{~ ir А + Fp W ^ (х)} C(,ft ~ 2 Akj.Wb} (х) ¦¦= E4>k (*)•
(20.24)
Отсюда еще раз следует, что У(х) представляет собой дополнительный
потенциал. Система уравнений (20.24) нелинейна, поскольку все волновые
функции ф7, стоят также под суммами в виде множителей к фА. Для
численного решения системы уравнений (20.24) был развит целый ряд
методов, однако в задачу этой книги не входит подробное изложение этих
методов, поскольку это не является предметом квантовой теории поля.
Обычный метод решения этой системы состоит в том, что, как уже было
