Квантовополевая теория твердого тела - Хакен Х.
Скачать (прямая ссылка):
Поэтому имеет смысл переписать оператор Гамильтона через операторы
электронных дырок таким образом, чтобы опять операторы рождения
электронных дырок стояли слева от операторов уничтожения. Применяя
перестановочные соотношения (13.4), (13.5), (13.6), получаем затем для
пар операторов
После повторного применения указанных перестановочных соотношений для
комбинации из четырех операторов получаем следующее выражение:
Поскольку все дальнейшие рассуждения в этом параграфе относятся к занятым
или свободным состояниям в валентной зоне, мы отнесем оператор Гамильтона
(20.7) к состояниям в валентной зоне, т. е. суммирование по I и т будет
распространяться теперь только на квантовые числа валентной зоны. Стоящие
здесь операторы можно заменить согласно (21.2) на операторы электронных
дырок. Затем мы поменяем согласно соотношениям
(21.4) и (21.5) порядок следования операторов. Как видно из
представления (21.4) и (21.5), у нас появляются члены, которые более не
зависят от операторов электронных дырок d, а именно, символы Кронекера
б(т. После подстановки (21.4) и (21.5) в оператор Гамильтона (20.7)
получим поэтому для энергии некоторое
11 X. Хакен
ah,v - dk , Hfe.y - dk.
(21.2)
(21.3)
didm - &lm dmdu
(21.4)
162
ЭЛЕКТРОНЫ В "ЗАМОРОЖЕННОЙ" РЕШЕТКЕ
1ГЛ. IV
постоянное выражение, которое имеет следующий вид:
Еу = 2 J Ф* (*){"? А + 7р (*>} Ф* (х) d*x +
1т
-4-2 j ф(tm) (х/) | х -1 Х'Тcfi (х^(рт w d?xd^x'- (21-6)
1т
Если сравнить это выражение с выражением (20.19) и принять во внимание
при этом, что суммирование теперь распространено на всю валентную зону,
то становится непосредственно видно, что выражение (21.6) представляет
энергию электронов валентной зоны в приближении Хартри - Фока. Это вполне
разумный результат. Если подействовать полным гамильтонианом (20.7) после
преобразований (21.4) и (21.5) на состояние заполненной валентной зоны
Фг, то должна сразу получиться энергия заполненной валентной зоны. Теперь
рассмотрим члены, содержащие пары операторов dmdi. После простой
перестановки индексов получаем следующее выражение:
Суммы по индексам I, т, т! распространяются на всю валентную зону.
Выражение в фигурных скобках нам уже встречалось в предыдущих параграфах.
Оно является не чем иным, как левой частью уравнения Шредингера (20.21),
приспособленного для электронов валентной зоны. Применяя обозначения
(20.25), можно придать (21.7) следующий вид:
Поскольку, согласно соображениям предыдущих параграфов, волновые функции
фт являются собственными функциями гамильтониана Н,фф с собственным
значением
2 dmdl j j ср* (x) (У - A_ Д + Vp (x)) cpm (x) +
Im 1
+ J 2 ф"' (X') | x - x'l фт' ^ ^'Фт (x) -
- |2ф""' (*')'[x ~x' j Ф""(x0 m> (x)jd3a:. (21.7)
(21.8)
§21]
ЭЛЕКТРОННЫЕ ДЫРКИ
163
то (21.8) переходит в выражение
- 2 dUiEm f сРГ (х) фт (х) <Рх. (21.10)
Ввиду ортогональности волновых функций, в сумме остаются только
диагональные члены, так что вместо (21.7) получаем следующее выражение:
(21Л1)
к
Здесь введен индекс к вместо употреблявшегося ранее индекса т, так как
собственные функции фт имеют вид блоховских функций, которые различаются
волновыми векторами. Другой индекс V должен подчеркнуть, что речь идет об
энергии электрона в валентной зоне. Выражение (21.11) имеет в точности
вид оператора Гамильтона системы независимых отдельных частиц. С
гамильтонианом подобного вида мы уже познакомились для случая свободных
частиц в § 13. Напомним теперь кратко последовательность наших действий.
С помощью правил (21.2) и перестановочных соотношений (21.4) и (21.5)
электронные операторы в гамильтониане (20.7) § 20 были заменены
операторами электронных дырок. До этого момента мы рассматривали только
те члены, которые не зависят от операторов электронных дырок или содержат
только пары таких операторов, что привело к выражениям (21.6) и (21.11).
Как следует из (21.5), имеются еще операторы, содержащие произведения
четырех операторов электронных дырок, откуда возникает выражение, которое
описывает кулоновское взаимодействие между электронными дырками:
Яд-д = 4" 2 fadtdjdJVil, т\т', Г), (21.12)
1,т V ,т'
где
W(l,m\m', l')= ф* (х) ф* (хД -^p-j-фт' (хД фГ (х) д?х d3x'.
(21.12а)
(Индекс д-д у Н указывает на взаимодействие между дырками.) Объединяя
(21.6), (21.11) и (21.12), получаем
Оператор Гамильтона электронных дырок. (Ниже обычные квантовые числа I,
т, I', т! заменены на волновые векторы к блоховских волн.)
Н - Еу - 2 dfc dk^k.v к
+ 4 2 di&d^W (кЗк4|к1к2). (21.13)
k>,kt,ki,k4
11*
164
ЭЛЕКТРОНЫ В "ЗАМОРОЖЕННОЙ" РЕШЕТКЕ
[ГЛ. IV
В этом выражении Ev является энергией заполненной зоны, а второй член
представляет энергию электронных дырок без учета их взаимодействия между
собой. Последний член, наконец, описывает кулоновское взаимодействие
между электронными дырками и представлен выражением (21.12).
В последующем изложении кулоновское взаимодействие между электронными
дырками мы опустим и обсудим выражение
(21.11). Сначала при поверхностном взгляде могло бы показаться, что
