Квантовополевая теория твердого тела - Хакен Х.
Скачать (прямая ссылка):
с амплитудами
(7.7) такясе является решением. Запишем это решение в виде
Рис. 18. Закон дисперсии для линейной атомной цепочки.
qi (t) = 2
1 iwla л | 1 - iwla^w^ л*
-т=- ее Aw + е е Аг 1/N У#
(7.10)
При этом мы учли, что комплексно сопряженная решению (7.4) функция также
является решением уравнения (7.2), а амплитуда qiit) должна быть
действительной величиной.
Суммирование проводится по всем разрешенным условием (7.4а) значениям w.
Коэффициенты Ат и А10 определяются начальными условиями, т. е. начальными
положениями д;(0) и начальными скоростями д;(0) отдельных атомов. Теперь
мы займемся более подробно формальным рассмотрением этой проблемы и
сформулируем ее еще раз с помощью функции Лагранжа и уравнений
Гамильтона. Как известно, функция Лагранжа определяется выражением L = T
- V, где Т - кинетическая, а V - потенциальная энергии. В нашем случае
кинетическая энергия равна сумме вкладов отдельных атомов
N М ' 2
т(r)*" ' (7-Ц)
i=i
а потенциальная уравнения
К\ - - gradg,F
энергия может быть определена с помощью
(7.12)
58 КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ [ГЛ. III
и приводится элементарным образом к следующему виду:
N.
V =-rZ2 (?" -7И1)2- (7.13)
г=1
N
В последующем изложении для краткости мы обозначим
Ы-1
через 2- Уравнения Лагранжа, как обычно, имеют вид
i
Vf-Wr*' (7-14)
дд1 'I
После подстановки (7.11) и (7.13) г> (7.14) мы вновь получаем уравнение
движения (7.2). Для последующего изложения запишем еще выражение для
канонически сопряженного импульса,
который, как известно, равен производной L по qr.
ft Щ,. (7! 15)
dqt
Посмотрим, далее, как выглядит фупкция Гамильтона, определяемая
выражением II - Т + V. Как известно, она следующим образом связана с
функцией Лагранжа:
H = '2pm-L. (7.1G)
I
Функция Гамильтона с учетом (7.11), (7.13) п (7.15) принимает вид
я = 2(r)2(9.-?.+.)=¦ (Ы7)
i
Соответствующие уравнения Гамильтона, как обычно, выглядят следующим
образом:
ан • ап
dpt ' Pl ~~ dqt
и с учетом (7.17) принимают следующий явный вид:
gi==WPl' Pl = K^4i+i +7г-1 - 2qt). (7.19)
Зададимся теперь вопросом, как будет выглядеть функция Гамильтона, если
мы перейдем от отклонений qi отдельных атомов к новым "координатам", а
именно, к амплитудам Л", Aw. При этом наряду с выражением (7.10) мы
должны также рассмотреть выражение для канонически сопряженного импульса.
Диф-
§ 7] КЛАССИЧЕСКАЯ ЛИНЕЙНАЯ ЦЕПОЧКА АТОМОВ 59
ференцируя правую часть (7.10) по времени и умножая результат на М,
получим, согласно (7.15), следующее выражение для канонически
сопряженного импульса рМ):
_ If\ V* ( л,г 1 Jwla"~iwwt \ . • 1/Г 1 "-iwla л*\
Pi ( ) ~^ W W ~^Jf ^ AwJ'
(7.20)
Теперь выразим функцию Гамильтона через амплитуды Au,ijiA*v, что
обеспечит нам позже непосредственный переход к квантованию. Вычисляя
выражение для кинетической энергии, вначале получаем
- 2 w - i 2 f 2 -тк (о +
2Л/ ^11 гм 11 д/у
' I I \ w v -•
компл. соиряж.)". (7.21)
В (7.21) присутствуют выражения вида
V V (_ /t0ii,l1/)(_ Шш.м) Bw (t) в(0 4- 2 eilila+>wia. (7.22)
U? ш' I
Последняя сумма, ввиду ортогональности дискретных волновых амплитуд еШа,
является символом Кропокера. Другие квадратичные и билинейные по В
выражепия также упрощаются, так что после кратких промежуточных
вычислений вместо (7.21) находим
Ш 2 Р* ^ Ц- 2 (t) B_w (t) -
- u>wtii-wBw (?) (t) -}- ii>wBw (t) Bw {t) -j-
+ alBl(t)Bw(t)). (7.23)
PaccMOTpniM выражение для потенциальной энергии
V = 4 2 (?" + ??+i - 2 (?*<+1)) (7-24)
г
более обстоятельно, для чего разложим его на три различные части:
К 2 7г - -f- 2 91-1Я1 - -§¦ 2 З'кмЗ'г- (7-25)
\ г г________________ i_________
V4 На ~ V.
Используя ортогональность волновых амплитуд еШа (см. (7.22)),
после элементарных преобразований получаем следующие
00 КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ [ГЛ. III
/
выражения для Fi, V2, F3:
v1 = K2(B"(t)B-w(t) + BUt)B*w(t) +
w
+ Bw(t)B*(t) + Bl(t)Bw{t)), (7.26)
v-2=4 2 (*) we-1№a+к. c. +
W
+ Bw (t) Bl (t) e~ilBa + Bl (t) Bw (t) eiwa), (7.27)
7з = 4 2 (oei№a+K' c' +
ад
+ Bw (t) Bl (t) eiwa + Bl (t) Bw (t) e~iwa). (7.28)
Рассмотрим выражение для полной энергии Т + V и сгруппируем отдельные
члены. При этом учтем, что согласно (7.8) =
= о)-у,. Далее оказывается, что множители выражений Bwti)B-a(t) принимают
вид
-у- + К - К cos wa = 0 (7.29)
и согласно закону дисперсии (7.8) исчезают. Равным образом исчезают
множители выражений Bw(t)B^w(t). Множители членов Bw{t)Bw(t) объединяются
в выражения следующего вида:
-у + К - К cos сна = Яыщ (7.30)
и также в силу закона дисперсии не исчезают.
Таким образом, для Н мы получаем следующее выражение:
Я = 2 Мей {Bt (t) Bw (t) + Bw (t) Bl (f)l (7.31)
V)
Имея в виду последующее квантовотеоретическое рассмотрение, мы (не
указывая до сих пор на это определенно) на всех этапах получения Я очень
тщательно следили за порядком следования амплитуд В* и В. Этот порядок
отражен также в (7.31).
Поскольку В имеет размерность длины, введем новые безразмерные величины,
причем, принимая во внимание последующее квантовое рассмотрение, выберем
