Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Хакен Х. -> "Квантовополевая теория твердого тела" -> 19

Квантовополевая теория твердого тела - Хакен Х.

Хакен Х. Квантовополевая теория твердого тела — М.: Наука, 1980. — 344 c.
Скачать (прямая ссылка): kvantovayateoriyatverdogotela1980.djvu
Предыдущая << 1 .. 13 14 15 16 17 18 < 19 > 20 21 22 23 24 25 .. 118 >> Следующая

где Со- мпожитель, подлежащий еще определению с помощью условия
нормировки. Как мы увидим ниже, он равен
Cfl = (6.25)
До сих пор мы конструировали только основное состояние. Теперь, однако, с
помощью исходных операторов Ъ+ и Ъ мы можем сразу найти также и
возбужденные состояния. Для этого следует лишь выразить Ь+ и ор0 в (6.13)
через (6.7) и (6.24). Тогда оказывается, что решение для возбужденных
состояний имеет следующий вид:
ф"(Ь+) = г^{b+- T)V<V.>MVb4
У 1 35-----• (6.26)
^g
Итак, нам удалось решить уравнение Шредипгера (6.5) в явном виде. '*
Прежде чем мы обсудим второй путь решения, рассмотрим наши результаты
(6.13) или (6.26) с точки зрения последующих приложений к проблемам
твердого тела. Как следует из вида основного состояния для смещепного
осциллятора, это основное состояние имеет мало общего с основным
состоянием несмещенного гармонического осциллятора. Тем не менее, исходя
из смещенного основного состояния, можно снова создать возбужденные
состояния, которые имеют "бозевский" характер1), для чего следует
подействовать новым оператором рождения Ь+ на смещенное основное
состояние. Мы столкнемся с совершенно аналогичной проблемой, например,
при изучении плазменных колебаний в твердом теле. Хотя основное состояние
такой системы не имеет практически ничего общего с основным состоянием
невзаимодействующей системы, однако мы можем создать возбужденные
состояния с помощью многократного применения бозе-операторов. Аналогичная
ситуация встретится нам и в теории сверхпроводимости.
Теперь мы сделаем еще один очень важный шаг, который прямо приведет к
важным приложениям в теории сверхпроводимости. А именно, мы покажем, что
можно найти все возбужденные состояния гармонического осциллятора, если
только удается
*) Как будет еще раз пояснено в § 12, частицы, операторы рождения и
уничтожения которых удовлетворяют перестановочным соотношениям (6.8),
называются бозе-частицами.
52
ГАРМОНИЧЕСКИЕ ОСЦИЛЛЯТОРЫ
[ГЛ. II
найти такое унитарное преобразование, которое ведет от основного
состояния несмещенной системы к основному состоянию смещенной системы.
Как мы сейчас увидим, для гармонического осциллятора нам удастся
сконструировать это преобразование в явном виде. В этом нам помогут
приемы, с которыми мы познакомились в § 5. Итак, мы переходим ко
второму пути решения1). Будем исходить из волновой функции основпого
состояния смещенного осциллятора
^8 = с0еуь\, ' (6.27)
причем с о- нормировочная постоянная, которую мы сейчас найдем. Выражение
(6.27) дает нам, если угодно, преобразование старого основного состояния
фо в новое состояние фв посредством оператора
А = с/1Ь+. (6.28)
Этот оператор, однако, имеет вид экспоненциального оператора, который мы
обстоятельно исследовали еще в § 5. Мы видели, что преобразование, в
котором участвует оператор А, можно превратить в унитарное
преобразование, доба^цв множители e~lb и е-( /•)[?( ^ Добавка множителя
е~т'' фактически ничего не меняет, поскольку Ъ или любая степень Ъ,
действующая на фо, всегда дает нуль и от всей экспоненциальной функции
остается только единица. Том самым мы находим искомое преобразование
ф^е-^^'У^е-^фо- (6.29)
и "
Поскольку преобразование U, согласно § 5, унитарно, функция фй
автоматически оказывается нормированной на единицу, если предполагается,
как обычно, что фо нормирована (см. задание 2 из § 5). Сравнение (6.27) и
(6.29) дает затем
''О
Введем теперь в совершенно общем виде новое преобразование между искомым
решением ф уравнения Шредингера (6.5) и новой функцией %
ф = Ux, (6.30)
где U дается в (6.29). После подстановки (6.30) в (6.5) получаем {b+b -
*((b+ + b))U% = e'U%; (6.31)
*) Этот раздел при первом чтении также можно пропустить.
§ 6] СМЕЩЕННЫЙ ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР 53
умножив это уравнение слева на С/"1, находим
и-ЧЪ+Ъ-ч(Ь+ + Ъ))иу1 = &'х. (6.32)
Нам уже известно, как действует преобразование U на операторы Ь+ и Ь.
Например, справедливо равенство
и~1Ъ+и = Ь+ + Ъ (6.33)
а также U~1b+bU = U~lb+U ¦ U~~lbU = (b+ + ^)(b + 4). Мы видим, таким
образом, что преобразование U действует как сдвиг операторов Ъ и Ь+.
Следовательно, уравнение (6.32) можно привести к виду
(b+b - у2)% = г'%. (6.34)
Собственные функции определяются сразу. Они имеют вид
1 (Ь+Ухи, (6.35)
г
V п\
причем можно установить тождественность %о с tJjq, определяемой
уравнением (6.27):
Хо = to, Н'о = 0. (6.36)
С помощью преобразования (6.30) можно вновь перейти от (6.35)
к искомым волновым функциям ф. При этом мы получим
(6.37)
Множитель и~г11 равен, естественно, единице и введен только для того,
чтобы сделать возможным преобразование выражения
(6.37) в выражение
* = V^T^b+crl),V (6-38)
При этом мы использовали соотношение (5.40). Учитывая еще, наконец,
соотношение
Ub+U-l = b+-4, (6.39)
мы непосредственно обнаруживаем, что (6.38) тождественно совпадает с
(6.26). Большое преимущество этого рассмотрения состоит в том, что
благодаря применению унитарного преобразования (6.29) наша проблема может
Предыдущая << 1 .. 13 14 15 16 17 18 < 19 > 20 21 22 23 24 25 .. 118 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed