Квантовополевая теория твердого тела - Хакен Х.
Скачать (прямая ссылка):
(10.2)
qi^f-q(x) оператор q (х),
(10.3)
Р1^л(х) оператор
•n(x)q(.x')- qix') nix)
(10.4)
T{bh)q{x,)-q{x,)b^-
(10.5)
78
КВАНТОЙАНЙЕ ПОЛЯ
[ГЛ. III
Если теперь учесть хорошо известное из квантовой механики правило,
согласно которому при применении перестановочных соотношений постоянно
следует помнить, что операторы действуют на стоящую за ними волновую
функцию, а затем воспользоваться соотношением (9.29) и обычным правилом
дифференцирования произведения, то вместо (10.5) получаем выражение
Отсюда автоматически выводится основное перестановочное соотношение для
континуума:
Аналогично и так же тривиально получаются следующие перестановочные
соотношения:
Чтобы показать, каким образом в случае континуума можно ввести операторы
рождения и уничтожения, вновь обратимся к конкретному примеру линейной
цепочки. Для этого будем исходить из разложения (9.14) пока еще
классической величины qU, t):
Дифференцируя это выражение по времени и умножая его на р, получаем
л (x,t) = pq = ^ __L_p(- iaw)etu:xBw(t) + c.Y (10.11)
Пусть теперь q(x, t), а также л (ж, О и тем самым неизбежно
(10.6)
я (х) q (х') - q (х') я {х) = ~ б (х - х').
(10.7)
| q(x)q(x') - q{x')q{x)= 0
(10.8)
и
! n(x)n(xJ)-n(x')n(x)=0.
(10.9)
q (*, t) =-. 2 elwxBw (t) + к. с. j.
(10.10)
VL
Bw, B*w будут операторами. По аналогии с дискретной атомной -цепочкой
введем новые операторы bw и согласно соотношениям
Тогда равенства (10.10) и (10.11) переходят в выражения
(10.13)
§ 10]
КВАНТОВАНИЕ КОНТИНУУМА. ФОНОНЫ
79
я (*) = 2ti V лг (- е<,ис&"+e~iwXb^- (10-14>
W ^
Теперь используем все проведенные нами в § 7 преобразования, чтобы
перейти в функции Гамильтона от qt и рг к bw, Ъ^. Единственное отличие по
сравнению с предыдущими вычислениями состоит в том, что вместо суммы по I
мы имеем интеграл по х от 0 до L и что вместо соотношения ортогональности
Л7 , .
1 V eiKla-,w'la ^ /где w ^ п __ целое чпсл0j
1 1==1 ' '
(10.15)
появляется соотношение ортогональности следующего вида:
L
L
j- | eiwx ,l0'x dx = 8wwr ^где w -- п - целое число j.
(10.16)
Поскольку больше ничего не изменяется, мы сразу приводим оператор
Гамильтона для колеблющейся атомной цепочки в предельном случае
континуума к виду
I (10.17)
I W
и предоставляем проверку этого результата сомневающемуся питателю.
"Амплитуды" вновь, естественно, операторы. Перестановочные соотношения
между операторами bt,, bw также получаются совершенно аналогично § 8. Для
этого мы с помощью преобразования Фурье разрешаем (10.13) и (10.14)
относительно bw, Ь?,, образуем, например, выражение bwbw> - bw>bw и
подставляем сюда перестановочные соотношения (10.7-10.9). Детальный
расчет мы предоставляем читателю в качестве задания и сразу выпишем
результат
[bw, b+,] = б1С,№" [Ьт, ы \bt, b^J - о. (10.18)
Если разложения (10.13) и (10.14) проводятся не в конечном "объеме", а во
всем пространстве, то в (10.13) и (10.14) вместо рядов Фурье появляются
интегралы Фурье. При атом символ Кронекера в перестановочном соотношении
(10.18) следует заменить на б-функцию б(w - w'). На этом процесс
квантования полностью заканчивается. Поскольку операторы bm, зависят
80
КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ
(ГЛ. III
от дискретного индекса, дальнейшее рассмотрение проводится аналогично
случаю дискретных точечных масс: решение уравнения Шредингера
коммутирует с Н. Он показывает, сколько квантов имеется в состоянии w. В
случае упругой среды говорят о числе фононов, занимающих моду w.
Теперь обсудим задачу построения средних значений, например средних
значений для qix) и nix), которые по аналогии с дискретным случаем
определяются выражениями
Рассмотрим несколько более подробно вычисление (10.22) и в качестве
примера функции Ф выберем собственное состояние
(10.20) оператора Гамильтона (10.17).
Мы утверждаем, что соответствующее среднее значение исчезает:
Чтобы показать это, введем в (10.24) разложение (10.13) для qix):
Поскольку суммирование не связано с вычислением среднего значения, эт,д
операции можно поменять местами и представить
2 j/"2Д/; e'WX <Ф" Ibw I ф<">> +
+ ^уГ^в~'те<ф<">1Ь?|ф<*>>* (io-26)
Заметим, что е<иж также не связано с вычислением среднего зна-
НФ=ЕФ
(10.19)
записывается в известном виде (ср. (3.48))
(10.20)
Оператор числа частиц
nw ~ Ъц}Ьу)
(10.21)
qix)- <Ф|д(ж)|Ф>
(10.22)
и
nix)- <Ф|лЫ1Ф>.
(10.23)
<Ф1п)1дЫ1Ф(П)> = 0.
(10.24)
(10.25)
(10.25) в виде
КВАНТОВАНИЕ КОНТИНУУМА. ФОНОНЫ
81
нения! Таким образом, х всего лишь индекс. Вспомним § 3, где показано,
нто действие оператора рождения bt означает увеличение числа квантов на
один, так что из Ф(п} возникает состояние, при котором в моде оказывается
одним квантом больше. Ввиду ортогональности волновых функций с разными
числами заполнения справедливы соотношения
<Ф{г,)1|Й|Ф{и}> = 0* <Ф{", [ Ь"! Ф{">> = 0. (10.27)
Из обращения этих средних значений в нуль сразу следует справедливость
соотношения (10.24). Совершенно аналогичным образом доказывается, что
среднее значение канонически сопряженного импульса nix) также обращается
