Квантовополевая теория твердого тела - Хакен Х.
Скачать (прямая ссылка):
быть сведена к существенно более простой проблеме (6.34).
Задания к § 6
1. Для комплексного 7 уравнение Шредингера имеет вид Йсо (Ь+Ъ - 76 -
,у*6+)ф = Ety.
Используя методы § 6, найти -ф и Е,
54 ГАРМОНИЧЕСКИЕ ОСЦИЛЛЯТОРЫ (ГЛ. и1
2. Оператор Гамильтона набора несвязанных, но смещенных гармонических
осцилляторов имеет вид
Н = 2 Йсоь {btbh - y А - yhbi).
h
Показать, что волновая функция основпого состояния дается выражением (ЪкФ
о = 0)
Ф = П ехр|- 4 I I2} ехр b'*At) exp yA) Ф,.
Соответствующая энергия равна
Е - - 2^гсо/г! Yft !"• (Доказательство?)
h
3. Пусть унруш связанный примесный атом находится в положении равновесия
в основном состоянии. Благодаря электронному переходу условия связи
изменяются, так что потенциал, согласно рис. 14, оказывается смещенным.
Электронный переход при этом происходит настолько быстро, что ядро
(координата q, одномерная модель) остается в прежнем положении (принцип
Кондона). Сколько в среднем фоиопов (квантов колебания) содержит
колебательное состояние около нового положения равновесия?
Указание. Вычислить <1|)АЫгр, где ч]з - волновая функция смещенного
осциллятора.
4. В уравнении Шредингера
%<й(Ь+Ъ - Y& - 7*Ь+)ф = гйф (А 6.1)
величины Y, Ч* зависят от времени. Решить (А 6.1), используя подстановку
q(t) = eweem% (при Ьф0 = 0),
и определить f(t) и g(t) как интегралы от у(?), 4*(t). Вычислить средние
значения
6=*<ф|Ь|ф>, Ь+ = <ф| Ь+|ф>
(см. задание 3 к § 5) и показать, что они удовлетворяют уравнениям
(d/dt)b+ = шЪ+ - ieiy(t), (d/dt)b = - mbшу*(t).
Глава III. КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ
§ 7. Линейная цепочка атомов: классическое рассмотрение
-а-
Рассмотрим линейную атомную цепочку, все атомы которой имеют равные массы
М и их положения равновесия находятся на равных расстояниях а. Атомы мы
перенумеруем индексом I, а отклонение l-то атома нз положения равновесия
обозначим через (рис. 16). Буква I должна, таким образом, указывать место
расположения атома (т. е. координату равновесного по- Г" а ]~
ложешш центра тяжести ато- j J j
ма). Для простоты мы огра-
пичимся продольными ОТКЛО- I I i I If А
пениями. Связь между ато- ^-| j "Н
мамц описывается гармонической силой с константой упругости К (рис. 17).
Тогда ньютоновское уравнение движения Z-ro атома имеет следующий вид:
Чи
Рис. 10. Линейная атомная цепочка.
Mqi(t) = K(ql+i(t) ¦ - K(qt(t)
qt(t)) -
¦ qi-i(t)).
<7.1)
Рис. 17. Энергия взаимодействия меж-Приведя подобпые члепы в ду атомами 1
ж 2. Атом 1 закреплен в правой части уравнения (7.1), ~ ~
точке
д i=U. Положение равнове-запишем его в более крат- сия находится в точке
а. При малых
отклонениях q-z атома 2 из положения равновесия фактический потенциал
(------) с хорошей точностью можно
аппроксимировать параболой Vд) =
ком виде
Mq, = K(q,+i + q,-i - 2 q,).
<7.2)
= const g\. Тем самым оправдывается наше предположение относительно
упругих сил.
Будем считать, что цецочка циклически замкнута, так что для координат
выполняется периодическое граничное условие
Qv~Qv+n 1 (7.3)
56
КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ
[ГЛ. III
где N-число атомов в цепочке. Для решения уравнения (7.2) мы предположим
заранее, что колебательные состояния цепочки можно описать плоскими
волнами. Введем следующую зависимость отклонения q№) от координаты I:
qi(t) = j±,eiwlaBw(t), (7.4)
где w - действительное волновое число1), которое в силу (7.3) имеет
следующий вид:
w=~m* (7-4а)
п - целое число, удовлетворяющее условию - N/2 ^п< N12.
Множитель 1/У N отвечает за нормировку в следующем смысле;
(7-4б>
Далее, функции 1/(У N)eiw,a взаимно ортогональны:
' <7'4в>
(см. задание 1 в конце этого параграфа). В обоих случаях суммирование
распространяется на все атомы цепочки. Коэффициент Вю в предполагаемом
виде решения (7.4) имеет смысл амплитуды, зависящей от волнового числа w
и времени t. Для того чтобы определить зависимость амплитуды Вю от
времени, подставим решение (7.4) в уравнение (7.2), откуда
непосредственно получаем уравнение
В At) = g(eiwa + e~iwa - 2) В At), (7.5)
где введено следующее краткое обозначение:
(7-6)
Уравнение (7.5) представляет собой простое уравнение колебания для
зависящей от времени функции Вю. Для его решения сделаем обычную
экспоненциальную подстановку
Bw(t) = e~i<0wtAw. (7.7)
') В литературе вместо этой буквы часто применяются буквы к и q, причем
последнее обозначение часто является поводом к недоразумению, по сколько
буквой д одновременно обозначают и отклонение.
КЛАССИЧЕСКАЯ ЛИНЕЙНАЯ ЦЕПОЧКА АТОМОВ
57
После подстановки (7.7) в (7.5) получаем связь между частотой со и
волновым числом w\
-СО l = g (eiwa + e~iwa - 2) = 2 g (cos wa ¦ или, после элементарных
преобразований,
2 Vg [ sin (wa/2) |.
1),
CO
(7-8)
(7.9)
Это выражение представляет собой закон дисперсии для распространения
волны по линейной цепочке.
Зависимость со от w, т. е. закон дисперсии, представлена на рис. 18.
Поскольку в случае уравнения (7.2) речь идет о линейном уравнении, можно
использовать принцип суперпозиции, согласно которому сумма решений (7.4)
