Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Хакен Х. -> "Квантовополевая теория твердого тела" -> 22

Квантовополевая теория твердого тела - Хакен Х.

Хакен Х. Квантовополевая теория твердого тела — М.: Наука, 1980. — 344 c.
Скачать (прямая ссылка): kvantovayateoriyatverdogotela1980.djvu
Предыдущая << 1 .. 16 17 18 19 20 21 < 22 > 23 24 25 26 27 28 .. 118 >> Следующая

соответствующий новый нормировочный множитель. Итак, положим
(7.32)
КЛАССИЧЕСКАЯ ЛЙЙЁЙЙАЯ ЦЕПОЧКА АТОМОВ
61
Тогда функция Гамильтона, выраженная через новые амплитуды, принимает
следующий вид:
Я = ^ %(ow -- (b*bw + bwbl). (7.33)
w
Задания к § 7
1. Показать, что в силу (7.3) волновое число w должно иметь вид
(7.4а). Доказать (7.46) и (7.4в).
N
Указание. Наряду с (7.4а) использовать формулу ^ dl ~
2. Пусть заданы начальпые положения атомов qAO) п начальные скорости
qA0). Какой вид имеет решение qAt) для последующих моментов времени?
Более подробно обсудить следующие частные случаи:
а) qAO) =А sin (w0la), qAO) = 0;
б) qAO) = qoSijo, qAO) - 0.
Указание. Коэффициенты при ( = 0 в (7.10) определяются с помощью фурье-
нреобразования. Для читателя, незнакомого с преобразованием Фурье:
умножить обе части (7.10) и (7.20) на e~iw0la и просуммировать по
I. В силу (7.4в), суммы по
w в правых частях (7.10) и (7.20) выпадают, так что Ите", Aw<t выражаются
прямо через суммы по q, и pt.
3. На каждый атом I исследованной в предыдущих парагра фах атомной
цепочки дополнительно воздействует зависящая от времени внешняя сила
KAt), которая может меняться от атома к атому. Какой вид имеют:
а) уравнения движения (вместо (7.2)),
б) потенциальная энергия (вместо (7.13)),
в) функция Лагранжа L-T - V,
г) функция Гамильтона Я (вместо (7.17))
как функции KAt) и qAt)?
Как выглядят имеющиеся в случаях б), в), г) дополнительные члены, если их
разложить по функциям (7.4)?
4. Вычислить qAt) в специальиом случае, когда указанная в задании 3 сила
имеет вид Кх (t) = K06ltio sin <в0?. Начальные
условия суть <fr(0) = <fr(0) = 0.
5. В линейной атомной цепочке с "упругим" взаимодействием между
ближайшими соседями массы атомов попеременно раз-
62
КбАЙТОЙАЙЙЕ ПОЛЯ
[ГЛ. III
личны: М для I четных и тп для I нечетных (рис. 19). Вывести уравнение
движения и решить его подстановкой
Убедиться, в том, что закон дисперсии имеет вид, показанный на рис. 20.
§ 8. Линейная атомная цепочка: квантовотеоретическое рассмотрение. Фононы
В рамках механики точки нам хорошо известно, каким образом мы могли бы
перейти от классического описания к квантовотеоретическому рассмотрению.
Если у нас есть система точечных масс, которые описываются координатами
от qi до qN и соответствующими каноническими импульсами от рi до pN, то,
потребовав выполнения для этих координат и импульсов перестановочного
соотношения
мы перейдем к квантованию. Причем координаты, а также импульсы различных
точек между собой коммутируют:
Этот' рецепт квантования можно применить к атомной цепочке, которую мы
рассматривали, в предыдущих параграфах, поскольку составляющие ее
отдельные точечные массы могут быть охарактеризованы своими координатами
и импульсами. Однако мы видели, что вместо координат qt и целесообразнее
использовать
I
АеШае-Ш
для I четного, для I нечетного.
?!(*)
П
а
Чи 4i
а
Рис. 19. Двухатомная линейпая цепочка (к заданию 5).
Рис. 20. Закон дисперсии для двухатомной линейной цепочки. / - упругая
постоянная.
(8.1)
qtqn - qnqi - 0, PnPi - PlPa = 0.
(8.2)
(8.3)
новые координаты Bw и- В^, которые имеют наглядный смысл
§ 81 КВАНТОВАННАЯ ЛИНЕЙНАЯ АТОМНАЯ ЦЕПОЧКА. ФОНОНЫ 63
\
амплитуд. Поскольку эти вторые координаты связаны с координатами q, и pi
посредством линейного преобразования (7.10) или
(7.20), то из перестановочных соотношений (8.1-8.3) следуют, естественно,
новые перестановочные соотношения для Вю, В%. Из эквивалентного (7.10)
выражения для qt{t) (см. (7.7)):
ЯГ-^Л~Уи1а{Вю + В*т} (8.4)
следует после применения преобразования Фурье (см. указание к заданию 2 §
7), что
N
~ 2 e~iKlagi --= Вш + В1Ю ^ а,", (8.5)
причом последнее равенство представляет собой новое сокращенное
обозначение. Аналогичным образом, с помощью преобразования Фурье находим
импульсы 1v
г4=2 е~ш"Р1 - uowMBw + m_wBlwM = ММ". (8.0) v •'* (=1
В уравнениях (8.4), (8.5), (8.6) аргумент t у всех "переменных" qh pi,
В,", B~w опущен. Основанием для этого служит то обстоятельство, что при
квантовании, которое ведет к уравнению Шредингера, зависящие от времени
измеримые величины (как, например, координаты q(i)) становятся
независящими от времени операторами.
Из двух последних уравнений (8.5) и (8.G), решая их относительно Bw н В
Lw, получаем соотношения
Bw - -тр (аи> + Фш) (8-7)
и
Blw - -L (аа - /Ы- (8-8)
Исследуем теперь, какой вид имеют перестановочные соотношения между
операторами Вю и Bw , относящимися к одному и тому же моменту времени.
Для этого образуем коммутатор
BWBW• - BW>BW = -^-{(СХц; -f- - Ф-w')
- (&-w' - Ф-to')((r)"> ~t~ Ф">)}' (8.9)
Перемножим стоящие в правой части (8.9) скобки, соблюдая при этом порядок
сомножителей, и соберем вместе выражения,
64 КВАНТОВАНИЙ ПОЛЯ [ГЛ. III
представляющие собой коммутаторы [А, В] = АВ - В А:
(8.9) = - {[a№, ct-w] -f- [|3№) Р-ги'] + i fPu," tx_№'] - г [аш, Р_№']}.
(8.10)
Выразим каждый коммутатор через коммутаторы для q, и ph используя дри
Предыдущая << 1 .. 16 17 18 19 20 21 < 22 > 23 24 25 26 27 28 .. 118 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed