Квантовополевая теория твердого тела - Хакен Х.
Скачать (прямая ссылка):
i
Умножая и деля правую часть (9.19) па а2, перепишем это выражение в виде
7 = 4-2*?-
"л-w
Снова введем краткое обозначение (9.7) и учтем, что g при предельном
переходе а 0 остается конечным. Далее, в континуальном пределе мы можем
заменить разность на отношение дифференциалов. Тогда получаем следующее
выражение для потенциальной энергии:
у = -тфх[^)г- <9-20>
о
Объединяя (9.18) и (9.20), получаем функцию Лагранжа в континуальном
пределе
L L
L=±§p(q(x, t)f dx-±g [ (&?*))' dx. (9.21)
о " о v 1
Каким образом можно было бы теперь получить уравнения Лагранжа и
Гамильтона в континуальной формулировке? Для этого кратко напомним случай
дискретных точечных масс, в котором справедливы уравнения Лагранжа
ddLdLn /п
9] КЛАССИЧЕСКИЙ ПЕРЕХОД К КОНТИНУУМУ 71
(9.23)
Рассмотрим более подробно производную дЬ
dqt ,
где проведем следующие очевидные преобразования:
_ ± 2 "" V "!Й1:ii = 2 uqi Y-
dqn dqn i i dqx dqn l дЯп
Для дальнейшего вычисления суммы применим очевидное в дискретном случае
соотношение
дЛ=8 (9.25)
дЯп
где б;, " - встречавшийся уже нам ранее символ Кронекера:
" (1 для I = п,
Oj," = {
(О для IФ п.
Отсюда окончательно получаем
а4- = 2 M'<i {Я-26)
д?г г
Аналогично (9.25), имеет место также соотношение
- б!>п. (9.27)
dqx
= U!'n'
Только что примененные нами правила (9.25) и (9.27) имеют очевидный
аналог в случае континуума, если вместо символа Кронекера ввести 8-
функцию Дирака 8(х - х'). Эта функция определяется только под интегралом
и обладает для каждой непрерывной функции fix) следующим свойством: ь
j / (х) б (х - х') dx = / (х') (а<х'<Ь). (9.28)
а
Так же как 6i, " в сумме по I выделяет члены с 1 - п, функция S(x-x')
выделяет под интегралом значение подынтегральной функции при х - х'. Эта
б-функция имеет в квантовой теории поля важное значение. Не знакомому с
ее свойствами читателю мы рекомендуем прорешать задания 3 - 5 в конце
этого параг-
72 КВАНТОВАНИЕ ДОЛЯ [ГЛ. III
Определим производные переменных в случае континуума следующим образом:
= в (*-*'), ^- = 6 (*-*'). (9.29)
"?(*) 8д(х)
Далее для этих новых производных справедливо правило дифференцирования
сложной функции 8/ (? (*)) = df (g (х)) бg (х)
8q(x') dq(x) S q(xy
Наконец, следует подумать о том, что означает выражение
в котором производную dq(x)/dx мы будем рассматривать как отношение
дифференциалов. Используя (9.29), получаем затем следующие очевидные
преобразования (при dx-+ 0): б q (х-\- dx) - q (х) 1 /S . .
,
Ш-----------гг-^-"а"6**+ *-¦'>-
-Щх~х'))=±Цх-х'). (9.32)
Теперь рассмотрим производную L по 8q в континууме. По определению L
получаем непосредственно
-4^- = -г^- (Т - V). (9.33)
bq{x') бq (х')
Поскольку V не зависит от q, при последующих преобразованиях этот член
можно опустить. По аналогии с преобразованиями (9.24) можно предположить,
что операции дифференцирования по q и интегрирования можно поменять
местами. Используя правило (9.30), после преобразований выражения (9.33)
получаем выражение1)
-A- {4dx(q (х))* = f 9dxq(x)^^-f (9.34)
бq\x ) о J бq\x)
которое после использования (9.29) приводит, наконец, к следующему
результату:
(9.34)= Jp dx q(x)$(x - х') = pq\x'). ' (9.35)
*) Читатель, знакомый с вариационным исчислением, сразу установит, что
символ б означает не что иное, как вариационную производную, которая
появляется, например, при формулировке принципа наименьшего действия
Гамильтона. В этой связи очень важно по возможности отчетливо
выявить аналогию с механикой дискретных точечных масс.
§91
КЛАССИЧЕСКИЙ ПЕРЕХОД К КОНТИНУУМУ
73
Полученные выше результаты позволяют ввести в континууме канонически
сопряженный импульс, для чего мы заменим известное из механики точки
правило (см. § 2)
Pi = д4- (9.36)
на следующее:
я ^ = ~ТТ7( = Р? (9-37)
bq (х)
которое и определяет канонически сопряженный q(x') импульс л(х'). Если
теперь рассмотреть вариационную производную L по координате, то сразу
получим, используя правило (9.30) и правило дифференцирования (9.31),
соотношения
tag (ж)\2 /дд\
" * Zl? Гdxls^p. dx.{ 7,. (9.38)
bq (x ) bq (x ) 2 J \ dx J 2 J ^( )
После проведения интегрирования по частям и использования
(9.32) последнее выражение следующим образом преобразуется к
конечному результату:
= (9.39)
Полученные только что результаты позволяют перенести уравнение Лагранжа
(9.22) на случай континуума, если в качестве исходного выбрать уравнение
о. (9.40)
at bq (х) oq(x)
Используя результаты (9.39) и (9.35), мы вновь получаем уравнение
движения для континуума:
Р?(М)-*^И=0. (9.41)
дх
Сравнение (9.41) с уравнением движения (9.8) показывает, что (9.41) и
(9.8) тождественно совпадают. Это является очевидным доказательством
того, что проведенная выше процедура действительно позволяет перенести
концепцию функции Лагранжа и соответствующих уравнений движения Лагранжа
на случай континуума.
74
КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ
[ГЛ. III
Обратимся теперь к соответствующему переходу для функции Гамильтона и
уравнений Гамильтона. В случае дискретных точечных масс нам известны
