Квантовополевая теория твердого тела - Хакен Х.
Скачать (прямая ссылка):
вынести за скобку и представить Ф в виде
Ф=(р + 6+)Ф0. (5.3)
На основное состояние Ф0 действует новый оператор, который мы кратко
обозначим Ь+. Из выражения
Ь+ + Р = Ь+ (5.4)
видно, что, добавляя к оператору Ь+ обычное число, мы получаем новый
оператор. Аналогично мы можем прибавить число к оператору уничтожения и
получим тогда новый оператор Ь:
Ь + р* = Ь. (5.5)
Если в перестановочное соотношение (5.1) вместо операторов Ъ и Ь+
подставить операторы Ь и Ъ+, то можно сразу удостовериться в том, что
новые операторы Ъ и Ь+ также удовлетворяют перестановочному соотношению
(5.1). Позже мы увидим, что это очень важное свойство бозе-операторов.
Проследим,* однако, сначала в общих чертах, что получается из
суперпозиции волновых функций. Как нам известно из квантовой механики,
любую функцию Ф можно представить в общем случае в виде бесконечного ряда
по собственным функциям rjv
Ф=2м>п. (5.6)
Здесь, мы имеем в виду собственную функцию гармонического
ОБ ОБРАЩЕНИИ С Б03Е-0ПЕРАТ0РАМИ
39
осциллятора, Которая, как мы уже много раз видели, может быть
представлена в виде
г['" = (6+)"Ф0, (5.7)
причем нормировочную константу мы опустили. Если подставить (5.7) в
(5.6), мы получим сразу
Ф ='2сп(Ь+уФ0. (5.8)
П
Теперь кажется, что Фо можно вновь формально вынести за скобку, тогда
правая часть (5.8) принимает вид
f(b+) Фо, (5.9)
причем f(b+) определяется выражением
!(/>+) -2 с" (6+)". (5.10)
11
Мы подошли здесь вплотную к определению операторной функции. Эта функция
строится следующим образом. Берем некоторую заданную функцию классической
переменной /(у), затем разлагаем ее в ряд Тейлора и заменяем везде
переменную у п ее степени оператором Ъ+ н его степенями. Таким образом,
мы получаем операторную функцию f(b+). Если специально выбрать
коэффициенты разложения в виде
"
п\
(5.11)
то в качестве примера мы получаем операторную экспоненциальную функцию
оо
^+ = 21г(6+)я- <5Л2>
л-о
Как мы позже увидим, эта операторная экспоненциальная функция играет в
теории гармонического осциллятора н тем самым в квантовой теории поля и в
ее приложениях к физике твердого тела и квантовой оптике чрезвычайно
важную роль.
Функция (5.10) зависит только от оператора рождения Ь+. Можно, конечно,
из операторов Ь+ и Ъ образовать любые степени п произведения, при этом,
однако, следует обратить внимание на точный, порядок следования
операторов Ъ+ и Ъ. На основании перестановочного соотношения (5.1)
операторы b и Ь+ могут быть расставлены в желаемом порядке, так что,
например, bb+ можно выразить через 1 + b+b. При этом особенно важными
являются два основных вида расположения операторов.
1. Так называемая нормально упорядоченная функция. Эта функция состоит
из сумм степеней вида (Ь+)тЬп, примем в каждом члене суммы справа стоит
оператор уничтожения, а слева
40
ГАРМОНИЧЕСКИЕ ОСЦИЛЛЯТОРЫ
ГГЛ. II
стоит оператор рождения. Такая операторная функция имеет следующий общий
вид:
^стп{Ъ+ГЪ\ (5.13)
тп
2. Наряду с такой функцией имеются антинормалъно упорядоченные
функции, которые состоят из слагаемых вида
bm(b+)", (5.14)
причем операторы рождения стоят справа, а операторы уничтожения стоят
слева. Функции антинормалъно упорядоченных операторов имеют следующий
общий вид:
2 (&+)". (5.15)
mn
Как отчетливо видно из этих примеров, с операторами можно обращаться как
с обычными числами, за двумя исключениями.
1. Должен соблюдаться точно порядок следования операторов. Этот порядок
может изменяться только при применении перестановочного соотношения
(5.1).
2. Здесь мы должны указать на одно свойство, о котором еще явно не
упоминалось, а именно, что нельзя делить на оператор Ъ !). Тем не менее
можно, например, образовать обратный оператор вида
(5.16)
Р + &'
Этот оператор должен вычисляться следующим образом: выражение (5.16)
рассматривается как функция Ъ и разлагается в ряд по степеням оператора
Ъ.
Нам нужно научиться некоторым очень полезным приемам, которые позволяют
простым образом вычислять операторные вы-
>) Это видно из следующих рассуждений: будем исходить из, без сомнения,
верного равенства
Ф = ЬФ0. (")
Умножим обе части его на Ъ~1:
6_1Ф = Фо. (**)
Если в качестве волновой функции Фо выбрать основное
состояние осциллятора, то согласно (*) должно быть Ф = 0
и, следовательно, также
Ь-1Ф = 0, в противоречие с (**), где Ф" ф 0.
§ 5]
ОБ ОБРАЩЕНИИ С БОЗЕ-ОПЕРАТОРАМИ
41
ряжения. Мы утверждаем, что справедливы следующие соотношения:
Соотношение (5.17) можно, прочитав его слева направо, интерпретировать
следующим образом: перестановка п-й степени оператора *Ъ+ с оператором Ъ
равнозначна простому дифференцированию функции (Ь+)п по Ь+.
Доказательство соотношения (5.17) мы проведем с помощью метода полной
индукции. Для п = 1 это соотношение действительно справедливо, поскольку
оно согласуется с исходным перестановочным соотношением (5.1).
1. п= 1:
56+-6+6 = 1^1(&+)°.
2. Примем, что соотношение (5.17) уже доказано для п = щ.
3. Покажем, что оно справедливо для п = щ + 1.
