Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Хакен Х. -> "Квантовополевая теория твердого тела" -> 16

Квантовополевая теория твердого тела - Хакен Х.

Хакен Х. Квантовополевая теория твердого тела — М.: Наука, 1980. — 344 c.
Скачать (прямая ссылка): kvantovayateoriyatverdogotela1980.djvu
Предыдущая << 1 .. 10 11 12 13 14 15 < 16 > 17 18 19 20 21 22 .. 118 >> Следующая

Выпишем соответствующую левую сторону (5.17) для п = п = щ:
Здесь мы явно пользуемся тем, что для этих операто-
(5.19) мы выразим через другие присутствующие в (5.17) члены. Тогда
(5.19) принимает вид
Если теперь применить к стоящему в первом члене в (5.20) произведению ЪЬ+
перестановочное соотношение (5.1), то мы получаем
дЬ+
(5.17)
6+ (Ъ)п - (Ь)пЬ+ ~ - пЪп~1 = - dfr )ш
(5.18)
п = щ:
b(b+)n° - (b+)n°b = h0(6+)"0"1.
(5.18а)
(5.19)
ров справедлив ассоциативный закон. Первый член Ъ (б+)п" в
(б+)"'66+ + пй (Ь+)"° - (Ъ+)п°+1Ъ.
(5.20)
(б+)п° (Ь+Ъ + !) + "" (Ъ+)п° - (Ь+)Щ+1Ь,
(5.21)
что можно в краткое виде записать как
(па + 1) (б+)п*.
(5.22)
42
ГАРМОНИЧЕСКИЕ ОСЦИЛЛЯТ ОРЫ
Мы доказали соотношение (5.17) также для щ + 1 н тем самым для общего
случая. Соответственно, конечно, доказывается соотношение (5.18). Обобщим
теперь выражения (5.17) и (5.18) на случай любой функции Ъ+ или Ъ. Если
разложить функцию f(b+) в ряд по степеням (5.10), то для каждой отдельной
степени выполняется соотношение (5.17) или (5.18). Еслн просуммировать
все степени с соответствующими коэффициентами, то непосредственно
подучаем
Ь/(Ь+)-/(Ь+)Ь-^р, (3.23)
ИЛИ
| &+/(&)-/(Ь)Ь+--^Ш (5.21)
Если применить (5.23) или (5.24) к специальному случаю оксноиепцпалыюй
функции, то непосредственно получается •
Ьсаь+ - ем,+ Ь - аеаЬ+ (5.25)
II
о с - eb -- - cte . (о.*М->)
Для экспоненциальной функции мы можем, естественно, всегда найти обратную
функцию, для чего нужно лишь поменять знак
показателя экспоненты. Умножив теперь (5.25) слева па е~аЬ и преобразовав
равенства, получим
| с~аЬ+ЬеаЬ + = Ь + а. (5.27)
Поступая соответствующим образом с (5.26), получаем i | е-чьь+еш, = ь+ _
а_ (5.28)
Соотношения (5.27) и (5.28), как мы увидим позже, являются очень важными.
Попытаемся теперь аналогичным образом упростить следующее выражение:
е-"ь+ерье"ь+ = ? (5_29)
Для того чтобы решить эту задачу, мы займемся прежде общей проблемой,
которая часто встречается в квантовой теории доля. А именно, речь идет о
том, чтобы вычислить выражение вида
V~'ewV. (5.30)
При этом V и W могут быть произвольными операторными функциями. В данном
случае У и W имеют вид
аЬ+ /к ЯП
ОБ ОБРАЩЕНИИ С Б03Е-0ПЕРЛТ0РАМИ
43
И w = $b. (5.32)
Мы утверждаем, что в самом общем случае, независимо от конкретного вида V
и W, выражение (5.30) можно представить в виде
e{v~lwv). (5.33)
Для этого мы разложим экспоненциальную функцию в (5.30) в стеленной ряд и
получим
(5.30) -= !- W-\г Wn + ... ] V. (5.54)
Рассмотрим каждый член степенного ряда, причем вставим между каждым
множителем W единицу:
V-iwaV= V-lW-1 • W ¦ 1 -W...WV. (5.35)
Представим теперь единицу несколько более сложным образом,, а именно, в
виде
1 = V ¦ V~K (5.36)
Тогда правую сторону (5.35) можно переписать следующим образом:
(V~lWV)(V~[WV)... (V-'WV), . (5.37)
что приводит, естественно, к выражению следующего вида:
(V~lWV)\ (5.38)
Подставляя теперь результат (5.38) с учетом (5.35) в (5.34) и снова
суммируя экспоненциальный ряд, мы получаем соотношение
| V~lewV = e(v~lwy)' (5>39)
Данный пример показывает, что наше доказательство никоим образом не
ограничивается экспоненциальными функциями, а может- быть применено к
любой разложимой в степенной ряд функции f(W):
V-'fiWW^fiV-WV). (5.40)
Результат (5.39) позволяет нам решить нашу задачу
е-*ь+е*ье*ь+ = ?
Теперь мы можем сразу написать ответ
е-"ь+Лаь+_еёь, (5.41)
44
ГАРМОНИЧЕСКИЕ ОСЦИЛЛЯТОРЫ
[ГЛ. II
причем Ъ определяется выражением
Ь = е~аЪ+ЬеаЪ+. (5.42)
Выражение (5.42) мы уже вычислили в явном виде. Используя
(5.27), получаем
& = Ъ + а. (5.43)
Отсюда находим окончательный результат
| е-й+Д"1+ = е13bg"p_ {5и)
Эти промежуточные вычисления позволяют нам решить весьма
важную задачу, а именно, превратить преобразование с V - е в так
называемое унитарное преобразование. Унитарное преобразование
определяется тем, что для осуществляющего ото преобразование оператора U
справедливо следующее соотношение:
t/+ = U~\ (5.45)
т. е. эрмитово сопряженный оператор тождествен обратному оператору.
Вопрос, следовательно, состоит в том, каким образом мож-
""6+ тт
но свести е к унитарному оператору. Для этого построим вначале оператор
Л - К'Л'Ь IY
А - е е (5.4о)
и посмотрим, как выглядит эрмитово сопряженный оператору А оператор А+.
Согласно правилу, изложенному на стр. 34, оператор А+ получается
следующим образом: оператор Ъ заменяем на оператор Ь+, крестик у
оператора &+ снимаем, заменяем а на а* и а* на а, т. е. на комплексно
сопряженные величины, и, наконец, обращаем порядок следования операторов.
Тогда получаем выражение
А+ = е-аЪ+еа*ъ. (5.47)
Умножая теперь А+ на А:
А+А = е~аЬ+еа*ьеаЪ+е-а*ь, (5.48)
мы видим, что три первых множителя в правой части (5.48) имеют тот же
вид, что и левая часть выражения (5.41). Поэтому мы можем прямо вычислить
произведение операторов и получаем
А+А = ea*ValV"*bt (5.49)
ОБ ОБРАЩЕНИИ С БОЗЕ-ОПЕРЛТОРЛМИ
45
что можно упростить далее:
(5.50)
Предыдущая << 1 .. 10 11 12 13 14 15 < 16 > 17 18 19 20 21 22 .. 118 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed