Квантовополевая теория твердого тела - Хакен Х.
Скачать (прямая ссылка):
например, в случае колеблющейся струны - поперечное отклонение и или для
электрического поля - напряженность электрического поля Е.
Непосредственная задача квантовой теории поля состоит поэтому в том,
чтобы прокванто-вать эти и подобные им величины, которые в классической
интерпретации являются функциями непрерывной переменной. Для проведения
этого квантования было бы естественно, исходя из уже известного
квантования дискретной системы точек, проследить, как происходит переход
к континууму*). Для этого нам послужит пример нашей линейной атомной
цепочки. Выполним вначале предельный переход к континууму для цепочки в
рамках классической физики. Будем считать что длина цепочки атомов L
фиксирована, но мы размещаем в цепочке все большее число атомов N со все
меньшим расстоянием а между ними. Рассмотрим следующий предельный
переход:
а О, N °°, L = aN - конечна. (9.1)
Введем теперь вместо дискретных переменных I переменную
1а = х\ (9.2)
цри этом будем помнить, что х позднее станет непрерывно изменяющейся
координатой. Одновременно введем новую амплитуду, которая зависит теперь
не от дибкретной переменной I, а от непрерывной переменной х. Используем,
далее, соотношения
Ax = aAl, AZ = 1. (9.3)
Запишем теперь выведенное ранее уравнение
Mq,M = K(ql+l + ql-l-2ql) (9.4)
в непрерывных переменных. Поскольку мы полагаем "1" малой по сравнению с
Z, a q рассматриваем как непрерывно изменяющуюся переменную аргумента Z,
мы можем разложить правую
*) Мы сохраняем при переводе термин "континуум", под которым в книге
понимается и непрерывная среда, и непрерывный случай, и т. д., поскольку
в каждом конкретном случае точный смысл этого термина легко
устанавливается из контекста. (Прим. перев.)
5*
68 КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ [ГЛ. III
часть (9.4) в ряд Тейлора. Если испольбовать затем (9.2) и (9.3), а также
?
М = р а, (9.5)
то уравнение (9.4) принимает вид
рад (х, t) = Ка2 аЧ.(*'Л (9.6)
дх
Из механики известно, что величина константы упругости удваивается, если
длина пружины уменьшается вдвое. Отсюда кажется естественным также и в
нашем предельном переходе а-*- 0произведение Ка считать постоянным и
ввести константу связи g согласно выражению
Ка = g - конечна! (9.7)
Тоща чисто формальным образом мы получаем уравнение
р 'q(x,t)=g%?J>, (9.8)
дх
которое, естественно, напоминает обычное уравнение струны, хотя следует
помнить, что в случае струны q означает поперечное смещение, здесь же оно
является продольным смещением. Мы не будем углубляться в это различие, а
будем основываться на формальной аналогии с дискретной цепочкой, которая
поможет нам квантовать это уравнение. Прежде всего мы исследуем решения
(9.8). Для этого представим q в виде
q(x, eiWXBw{t). (9.9)
Подставляя (9.9) в (9.8), получаем уравнение
р Bw{t) = - w2gBw(t). _ (9.10)
Поскольку смещение q{x, t), так же как и qAt) в дискретном случае, должно
удовлетворять циклическим граничным условиям
q{x + L, t) = q(x, t), то величина w в (9.9) должна иметь вид
w =-¦ (п = 0,!± 1, ± 2, ...), (9.11а)
причем п изменяется в бесконечных пределах. Множитель 1/>'L
КЛАССИЧЕСКИЙ ПЕРЕХОД К КОНТИНУУМУ
69
в (9.9) отвечает за нормировку в следующем смысле:
(9Л1б)
i(
Для различных w, w' экспоненциальные функции взаимно ортогональны:
L
ф=е111Хj {^= dx = 0, юфи?. (9.Ив)
С помощью подстановки
Bw{t)^Awe~i<0at (9.12)
мы можем сразу решить уравнение (9.10), причем зависимость между о и ш
дает закон дисперсии
(Л2. (9.13)
Общее решение уравнения (9.8) мы получим в виде суперпозиции решений
(9.9). Поскольку смещение q(x, t) должно быть чисто действительным,
представим общее решение в виде
q(x, t) ^ ^{~^егахАае + K.c.j. (9.14)
Напомним еще раз вкратце, в чем состой'/ наша цель. Она состоит в том,
чтобы проквантовать волновое уравнение (9.8), используя аналогию с
обычной механикой. В обычной механике при квантовании уравнения движения
Ньютона вначале находят соответствующую функцию Лагранжа, откуда затем
функцию Гамильтона с ее канонически сопряженными импульсами и
координатами. Эта функция Гамильтона является исходным пунктом для
квантования. Для того чтобы выполнить эту программу, мы должны определить
соответствующую (9.8) функцию Лагранжа и затем функцию Гамильтона. Для
случая дискретной линейной цепочки все это уже было проделано. Теперь
речь идет о том, чтобы перенести полученные в § 7 результаты на случай
континуума. Для этого будем исходить из функции Лагранжа
L = Т -V (9.15)
и рассмотрим сначала выражение для кинетической энергии
г=4(9Л6)
i
Введя плотность массы (масса на единицу длины) р, перепишем,
70 КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ [ГЛ. III
согласно уравнению (9.5), выражение для кинетической энергии в виде
Г = -г2р a'qi- (9.17)
Если "постоянную решетки" а интерпретировать как dx, чем мы уже
пользовались ранее, то (9.17) можно непосредственно представить в виде
интеграла
L
Т = ±-^9dx('q{x,t))%. (9.18)
о
Аналогичным образом поступим с потенциальной энергией
-г *2 <*"-*"+л2- (9Л9>
