Квантовополевая теория твердого тела - Хакен Х.
Скачать (прямая ссылка):
поскольку все величины здесь можно переставлять.
Если бы А был унитарным оператором, то в правой части
таться подправить этот результат, введя такой новый оператор, чтобы обе
части (5.50) можпо было сократить на число, стоящее в правой части
(5.50). Этого можно достичь следующим выбором оператора U:
В силу своей конструкции U является унитарным оператором и удовлетворяет
соотношению (5.45). Как можно показать, оператор U можно представить в
существенно более "красивой" форме
откуда сразу видно, что U действительно является унитарным оператором. В
последующем изложении, однако, мы будем постоянно использовать выражение
(5.51). С помощью этого унитарного оператора V мы можем теперь вновь
преобразовать операторы Ь и Ь+ и, применяя (5.27) или (5.28), получим
Унитарный оператор U играет, как мы сейчас увидим, важную роль в теории
смещенного гармонического осциллятора.
Наряду с только что рассмотренным оператором, в котором показатель
экспоненты линеен по Ъ или Ь+, имеется другой важный оператор, в котором
Ъ и Ъ+ присутствуют одновременно. Спрашивается, каким образом следует
вычислять выражение
Как было уже указано, будем считать это выражение функцией параметра а.
Выведем для /(а) дифференциальное уравнение, в котором (5.54)
дифференцируется по а. Учитывая точный порядок следования операторов,
получаем тогда
(5.50) стояла бы 1, а не e>ai'- Следовательно, мы должны попы-
U = е-(1/*т°е"ъ+е-а*ъ
(5.51)
X
(5.51а)
b = U+bU = 6 + а,
6+ = U+b+U = Ъ+ + а*.
(5.52)
(5.53)
/ (") = еаЬ+ъЬе-аЬ+ъ?
(5.54)
f (") = еаЪ+ь (Ъ+ЪЬ - ЪЪ+Ъ) е~аЪ+ь,
(5.55)
Из выражения, стоящего в скобках, вынесем за скобки направо оператор Ъ,
тогда получим
еаЬ+ъ (Ъ+Ъ - ЪЬ+) Ье~аъ+Ь. (5.56)
46
ГАРМОНИЧЕСКИЕ ОСЦИЛЛЯТОРЫ
[ГЛ. и
Новое выражение в скобках представляет собой с точностью до знака левую
часть перестановочного соотношения (5.1), так что (5.56) переходит в
выражение
- еаЬ+ьЬе-аЪ+ь = - / (а). (5.57)
Сравнение (5.55) с (5.57) приводит к дифференциальному уравнению для /:
/Ча)=- /(а) (5.58)
с решением
/(а)= е~а ¦ С, (5.59)
причем постоянная интегрирования С определяется с помощью "начального
условия" при а = 0. Согласно (5.54) должно быть
/(0) = Ь,
где Ъ - оператор уничтожения. Сравнивая это выражение с (5.59), мы видим,
что постоянная интегрирования С равнй оператору Ъ, На первый взгляд это
кажется странным, однако ничего странного здесь нет, поскольку ведь /(ос)
согласно (5.54) является операторной функцией. Отсюда в качестве
конечного результата находим соотношение
| еаЬ+ъЬе~аЬ+ъ = е~аЬ. (5.60)
Аналогичным образом доказывается следующее соотношение:
| е*ъ+ъь+е-аъ+ъ = (5>61)
Итак, для чисто мнимого о оператор е"ь+!> является унитарным.
Задания к § 5
1. Положить в (5.51а) а = - (1/У2)|0, где а - действитель-' ное число.
Используя (3.14) и (3.15), убедиться, что ЕАр(|) является не чем иным,
как разложением по степеням ф(|+ ?<>)•
2. Показать, что если ф0 нормирована, то нормирована и функция гр =
С/г|зо, причем оператор V задан выражением (5.51).
У к а з а н и е" Применить (4.19) и (5.45).
3. Пусть гфо - волновая функция осповного состояния осциллятора, U-
преобразование (5.51) и ф = t/фц. Доказать, что а) <ф(6|ф) = сс, б)
<ф11ф> = а*.
Указание, а) Поскольку &фо = 0, то можно написать &6гфо = (bU - Ub)^50.
Затем применить (5.23) и задание 2.
б) Применить (4.16), читая его справа налево.
§ 6] СМЕЩЕННЫЙ ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР 47
, " /со -C/Jlvl* n 1. *
4. В задании 4 к § Л положить сп = е у - и убедить-
Vй!
ся в том, что при этом для волповой функции г|з получается следующее
выраженпе:
1|- г_- охр -J I у |2 + уЪ+е~т'| ф0,
причем ![• нормирована.
5. Почему елев Ф ел+в, если [А, В] Ф О?
§ 6. Смещенный гармонический осциллятор: прообраз элементарных
возбуждений в твердом теле
Продолжим исследование квантовомехаппческого гармонического осциллятора,
который описывается с помощью безразмерной координаты Предположим теперь,
что этот гармонический осциллятор подвержен действию еще одной,
независящей от времени силы Т2д/вд. (В упражнении 4 мы распространим эти
результаты на зависящую от врелкчпг силу.) Уравнение Шредпнге-ра имеет
вид I 1 d2 , 1
( 2 cJl
2 + j S2 - 1 2 ¦уg ф (t) -- е ф (I), (6.1)
причем безразмерная энергия определяется выражением
е-A (0.2)
h (О v '
Уравнение (6.1) можно интерпретировать и совершенно иным образом: это
уравнение описывает осциллятор, положение равновесия которого находится в
= 7У2 (рис. 14, 15). Решение в этой последней формулировке тривиально:
вместо старой коордн-пАты | вводят новую смещенную координату, так
что в новой
системе координат положение равновесия находится в начале ко-
ординат. Однако мы хотим решить эту проблему другим способом, с помощью
операторов Ъ и Ъ+, поскольку отсюда можно заимствовать важный метод
исследования тех проблем твердого тела, с которыми мы встретимся позже.
Множитель при | мы написали в несколько искусственном виде У2д, чтобы
позже получить некоторое упрощение. Если снова ввести вместо координаты |
