Квантовополевая теория твердого тела - Хакен Х.
Скачать (прямая ссылка):
операторы рождения и уничтожения, согласно обратным
(3.14) и (3.15) соотношениям
¦ S = дт? Сь+ ь+>. (в.3)
М - дт? - ь+)' <в4>
48
ГАРМОНИЧЕСКИЕ ОСЦИЛЛЯТОРЫ
[ГЛ. II
то (6.1) переходит непосредственно в уравнение | {b+b - у (б+ + 6)1 т|)
= e'ty,:
причем для краткости мы положили _1 2 '
8=8
(6.5)
(6.6)
Будем искать решение проблемы смещенного гармонического осциллятора двумя
различными способами.
Рис. 14. Вид кривой потенциальной энергии смещенного гармонического
осциллятора. Вершина параболы находится в точке с координатами (У2 Ъ -
h<"Y2) ¦ Штриховой линией представлен потенциал несмещенного осциллятора.
Рис. 15. Прямой пример применения смещенного гармонического осциллятора
(схематически). Колебания ионов в /'-центре (центре окраски). В полярном
кристалле (например, в NaCl) отсутствует отрицательный ион. Его место
занято электроном. В зависимости от состояния возбуждения электрон имеет
различные распределения заряда (заштриховано). Это в свою очередь ведет к
изменению поля ионов, а) Положение с на-инизшей потенциальной энергией
для иона, отмеченного более жирным кружком, находится в точке (+)
(распределение заряда электрона до перехода). Ъ) Положение с наинизшей
потенциальной энергией теперь смещено вправо (зарядовое распределение
электрона концентрируется правее) и находится где-то возле точки (X)
(распределение заряда электрона после перехода).
1. Первый путь решения. Рассмотрим левую сторону уравнения (6.5). Если
бы 6+ и 6 были не операторами, а обычными
числами, то члены, линейные по 6+ и 6, которые присутствуют
в (6.5), можно было бы устранить, использовав линейное преоб-
разование вида
6 = 6 + у, 6+ = 6+ + у. (6.7)
Как мы уже отметили ранее, новые операторы 6 и 6+ также удо-
§ 6] СМЕЩЕННЫЙ ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР 49
влетворяют перестановочному соотношению для бозе-частиц:
ЪЪ+-Ь+Ъ = 1. (6.8)
Поэтому действительно кажется естественным применить преобразование
(6.7). Если мы одновременно вместо старой функции ф, связанной с
операторами Ъ+ и Ь, введем новую функцию ф, которая связана теперь с
операторами Ь+:
ф(Ь+) = ф(й+), (6.9)
то уравнение (6.5) примет вид
(Ь+Ъ- f )ф(Ь+) = в'ф(Ъ+). (6.10)
Если, наконец, с помощью соотношения
s'= в - 72 (6.11)
ввести новую энергию ,в, то (6.10) можно окончательно представить в^виде_
й+Ьф = 8ф. (6.12)
Но это уравнение в точности совпадает с уравнением гармонического
осциллятора. Поскольку операторы Ъ и Ь+ удовлетворяют обычным
перестановочным соотношениям (6.8), мы можем непосредственно построить
собственные функции и собственные значения уравнения (6.12). Тогда с
помощью процедуры, которая нам известна из § 3, в качестве собственной
волновой функции уравнения (6.12) мы получим функцию
Ф" = ^(&+)ПФ°* (6.13)
причем основное состояние определяется следующим свойством: Ьфо = 0.
(6.14)
Собственные значения уравнения (6.12) имеют вид
в" = га (га = 0, 1, 2, ...). (6.15)
Следовательно, собственные значения уравнения (6.5) даются выражением
| 8 ' = (6.16)
Собственные значения смещенного осциллятора мы получим согласно (6.2),
умножив (6.16) на Й-оэ и приняв во внимание
(6.6):
Е = %а> (п - у2 + х/2).
Здесь также явно учтена нулевая энергия
50
ГАРМОНИЧЕСКИЕ ОСЦИЛЛЯТОРЫ
[ГЛ. И
В (6.14) мы определили основное состояние с помощью смещенных операторов.
Какой вид имеет основное состояние относительно первоначального оператора
6+? Подставляя (6.7) и (6.9) в (6.14), получим уравнение для смещенного
основного состояния:
Функции ф(6+), которые удовлетворяют идентичному (6.17) уравнению
йф(й+)= чф(5+),
называются когерентными состояниями. Они играют в квантовой оптике
фундаментальную роль.
Смещенное состояние, естественно, должно быть представимо через
несмещенные собственные функции гармонического осциллятора. Чтобы
показать, как это делается, проведем одно формальное преобразование. Мы
видели в § 5 (см. (5.6-5.10)), что любую функцию можно представить в виде
ф" = /(5+)ф о, (6.18)
причем функция / подлежит еще определению. Функция фо является функцией
основного состояния, которое, как обычно, определяется свойством
Второй член в левой ,части выражения (6.20) в силу (6.19) равеп нулю; мы
добавили его по соображениям, которые тотчас станут очевидными.
Коммутатор b и /(6+) в левой части уравнения (6.20) можно упростить,
использовав соотношение (5.23), тогда вместо
(6.20) мы получаем следующее уравнение:
Это уравнепне всегда разрешимо, если функцию f(b+) можпо определить так,
чтобы она удовлетворяла уравнению
Уравнение (6.22) имеет следующее решение:
f(b+) = c0etb+. (6.23)
Если подставить явный вид решения (6.23) в (6.18), то мы дей-
боро = (Ь - ч)ф"(5+) = 0.
(6.17)
5фо = 0.
Подставим (6.18) в (6.17):
(5/(5+)-/(5+)5)ф0 = т/^+)фо.
(6.19)
(6.20)
(6.21)
(6.22)
§ е] СМЕЩЕННЫЙ ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР 51
ствительно получим представление основного состояния смещенного
осциллятора через волновую функцию основного состояния несмещенного
осциллятора:
( фв(Ь+)=с0еть+ф01 (6.24)
