Квантовополевая теория твердого тела - Хакен Х.
Скачать (прямая ссылка):
этом (8.5) и (8.6). Поскольку аш состоит только из qi (см. (8.5)), а все
операторы qi коммутируют друг с другом, отсюда немедленно следует, что
[аш, a-W'] = 0. Аналогично, оказывается, что [|3Ш, P-и,'] = 0. В
оставшееся в (8.10) выражение
-?~ { i [Р-н/ 1 (r)ш] -f- г [Рш, а_№']} (8.11)
подставим явные выражения (8.5) и (8.6), после чего получим
ш\тг^е+ш'1'а^е~Ша 1>1',?"] + (ы>~-*')). (8-12)
I "!' = 1 1=1 'д-'---------------- J
Т "'
Согласно перестановочному соотношению (8.1), выражение (8.12) переходит в
N
' У 1 Ua(w-w) Я __ Q- ^ а , (Я
4Л/и ? N i 2Мш w'w ' (8.10)
HI i = l ID
так что мы получаем перестановочные соотношения следующего вида:
BWB*W. - B*W.BW = 8WiW: (8.14)
W
Введем теперь вместо амплитуд Вш и B*w согласно (7.32) новые безразмерные
амплитуды bw и bt,. Тогда получим окончательно следующие перестановочные
соотношения:
I bwb$? - btybw = bWtw. (8.15)
Если мы будем исходить из перестановочных соотношений (8.2) и (8.3), то с
помощью совершенно аналогичных преобразований получим следующие
перестановочные соотношения:
bwbW' - bW'bw = 0, . (8.16)
bibi'-bi'bi = 0. (8.17)
Наряду с перестановочными соотношениями нас интересует, конечно, явный
вид оператора Гамильтона в новых операторах bw и bt. Мы можем получить
его, однако, непосредственно из уравнения (7.33) § 7. Там были сделаны
аналогичные только что
§ 8] КВАНТОВАННАЯ ЛИНЕЙНАЯ АТОМНАЯ ЦЕПОЧКА. ФОНОНЫ
65
проведенным преобразования от первоначальных координат qt и импульсов pi
к новым величинам bw, bt>, поэтому формально для оператора Гамильтона
будет справедлив тот же самый результат, только при всех преобразованиях
мы должны строго следить за порядком следования операторов, что, однако,
делалось уже тогда. Итак, перенесем сюда результат (7.33) и, преобразуя
второй член в сумме по ш с помощью перестановочного соотношения (8.15),
получим
Н = bawbibw 4- \ 2 (8.18)
W W
Вторая сумма представляет собой энергию нулевых колебаний и мояшт, при
соответствующем выборе начала отсчета энергии, быть опущена. Итак,
уравнение Шредингера для атомной цепочки принимает окончательно следующий
вид:
%-k(i>wbibw)o = ЕФ. (8.19)
W I
Функции, являющиеся решением этого уравнения, и собственные значения
энергии мы ввели в § 3, так что мы сразу же можем использовать здесь
полученные там результаты.
Для ясности и удобства использования в приложениях приведем явный вид
зависимости между оператором отклонения д, и операторами Ь", bt> (см.
(8.4) и (7.32)):
h (f) - ^ л/2МNo* (bw + Ъе*
w У w
Pi (*) = -* 2
bw = qi + 1 У2nMe>wNP\e
Ы = 2 { 71 - i Угогж p]
(8.20)
-iwla
(aw = u>-.w). (8.21)
Принимая во внимание разложение (8.20), решение (8.19) можно
интерпретировать следующим образом: в стационарном состоянии волны
решетки с волновым числом w заняты пш частицами, так называемыми
фононами.
Такое представление в литературе иногда подчеркивается слишком сильно; в
действительности при процессах в решетке
5 X. Хакен
66
КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ
[ГЛ. 1П
возникает наложение состояний с различными фононными числами. Мы будем
постоянно встречаться с такого рода случаями.
В заключение мы укажем на еще одно существенное различие между
классическим и квантовомеханическим рассмотрением, которое часто
доставляет неприятности не только начинающим. Оно состоит в том, что
начальные условия в этих случаях устанавливаются совершенно различно: в
классическом случае они задаются просто с помощью дДО) и дДО). Теперь,
однако, qi и р, являются операторами! Полное начальное состояние в
квантовомеха-ннческом подходе устанавливается заданием волновой функции Ф
(см. нижеследующие задания).
Задания к § 8
1. Вычислить для рассмотренной в § 8 линейной цепочки <ФIIФ> и
<Ф|рг|Ф>:
а) для Ф = Фо и Ф = II _±_(^Г№Ф<р т- е- Для энергетиче-
ш ynw\ '
ских состояний (8.19);
б) для когерентного состояния
Убедиться, что Ф является решением зависящего от времени уравнения
Шредингера (8.19) (см. задания к § 3 и § 5).
Указание. Использовать (8.20), (4.28-4.30), а также задание 3 к § 5.
2. Вычислить <Ф|<7г | Ф> : а) для ф =Ф0; б) для Ф - &^0Ф0.
3. Является ли волновая функция Ф однозначно определенной (для всех I),
если заданы средние значения координат и импульсов
qt = < ФI qt IФ > и рс = < ФI pi IФ > ?
4. В квантованной атомной цепочке в положении 10 находится дополнительный
заряд, который действует с независящей от времени силой Ki-i0 на точечные
массы 1?=10. Используя задание 3 к § 7, показать, что уравнение
Шредингера в этом случае имеет вид
Ф = о еРь№"фо) причем р ----- уе
(А8.1)
КЛАССИЧЕСКИЙ ПЕРЕХОД К КОНТИНУУМУ
67
Определить Ф Для наинизшего энергетического состояния Е0 и найти
зависимость последнего от gw,gw, а затем и от Энергия Е0 называется
собственной энергией дополнительного заряда. Какова величина <Ф|ф|Ф>?
§ 9. Переход к континууму: классическое рассмотрение
Когда мы говорим о поле в обычном смысле этого слова, мы представляем
себе, что в каждой его точке задано отклонение или возбуждение, как,
